Решить задачу графическим методом: F  x1  4x2  max 327            , 0 2 5 2 6 1 2 1 2 1 2 x x x x x x (Решение → 10043)

заказ №38669

Решить задачу графическим методом: F  x1  4x2  max 327            , 0 2 5 2 6 1 2 1 2 1 2 x x x x x x

Решение:

1. Построим область допустимых значений системы ограничений Решением каждого ограничения системы является полуплоскость с граничащей ей прямой. 2 6  х1  х2  (1) Построим прямую 2 6  х1  х2  . Она проходит через точки (0;3) и (-6;0). Для того чтобы определить, какая плоскость удовлетворяет неравенству, необходимо выбрать любую точку не принадлежащую прямой. Выберем точку начала координат (0;0), подставим в неравенство  х1  2х2  6 и получим 0 < 6. Данное утверждение является верным, следовательно, неравенству соответствует полуплоскость, включающая точку (0;0). 2 5 х1  х2  (2) Построим прямую 2 5 х1  х2  . Она проходит через точки (0;2,5) и (5;0). Выберем точку начала координат (0;0), подставим в неравенство 2 5 х1  х2  и получим 0 < 4. Данное утверждение является верным, следовательно, неравенству соответствует полуплоскость, включающая точку (0;0). Прямые ограничения , 0 x1 x2  . 0 x1  0 x1  - решение – прямая, совпадающая с осью ОХ2 0 x1  - решение – правая полуплоскость. 0 x2  0 x2  - решение – прямая, совпадающая с осью ОХ1 0 x2  - решение – верхняя полуплоскость. Т.е. ограничения х1  0 и х2  0 показывают, что решение системы находится в I четверти системы координат. Пересечение этих полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы и удовлетворяет условиям, определяет выпуклый треугольник (рисунок 1). Данный треугольник – область допустимых значений. Любая точка этой области является допустимым решением задачи. 328 Рисунок 1 – Построение области допустимых решений системы ограничений 2. Найдем оптимальное решение Оптимальное решение может быть только в угловых точках многоугольника. Чтобы найти оптимальное решение можно найти координаты всех угловых точек треугольника, вычислить значение целевой функции во всех угловых точках. Наибольшее из этих значений будет максимальным значением целевой функции, а координаты соответствующей угловой точки – оптимальным решением на максимум. Существует другой способ, который позволяет графически сразу найти угловую точку, соответствующую оптимальному решению. Для этого построим линию уровня. Приравняем целевую функцию постоянной величине а: F  х1  4х2  а Это уравнение является множеством точек, в котором целевая функция принимает значение, равное а. Меняя значение а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых называется линией уровня Пусть а = 0, тогда построим линию уровня x1  4x2  0 .