В ходе эксперимента измерялись характеристики x и y. Представить результаты измерений графически. (Решение → 8803)

Заказ №38721

Задача 5. В ходе эксперимента измерялись характеристики x и y. Представить результаты измерений графически. Найти выборочный коэффициент корреляции этих величин. Что можно сказать о зависимости этих двух величин? Построить уравнение линейной регрессии y от x. Нанести на график линию регрессии. На уровне значимости α = 0,05 оценить модель и параметры уравнения регрессии. Вариант 6 x 5,6 4,1 12,1 3,1 5,3 2,4 18,7 2,8 9,8 7 y 0,9 10,3 12 4,4 6 13,4 -5,5 21,3 7,1 -3,8 При решении допускается использовать MicrosoftExcel.

Решение.

Уравнение парной регрессии. На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер. Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, a и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти. Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов). Система нормальных уравнений. a·n + b·∑x = ∑y a·∑x + b·∑x2 = ∑y·x Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1) x y x 2 y 2 x • y 5.6 0.9 31.36 0.81 5.04 4.1 10.3 16.81 106.09 42.23 12.1 12 146.41 144 145.2 3.1 4.4 9.61 19.36 13.64 5.3 6 28.09 36 31.8 2.4 13.4 5.76 179.56 32.16 18.7 -5.5 349.69 30.25 -102.85 2.8 21.3 7.84 453.69 59.64 9.8 7.1 96.04 50.41 69.58 7 -3.8 49 14.44 -26.6 70.9 66.1 740.61 1034.61 269.84 Для наших данных система уравнений имеет вид 10a + 70.9·b = 66.1 70.9·a + 740.61·b = 269.84 Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -0.8356, a = 12.5343 313 Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии): y = -0.8356 x + 12.5343 1. Параметры уравнения регрессии. Выборочные средние. Выборочные дисперсии: Среднеквадратическое отклонение Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно: 1.1. Коэффициент корреляции. Ковариация. Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле: Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1. Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока: 0.1 < rxy < 0.3: слабая; 0.3 < rxy < 0.5: умеренная; 0.5 < rxy < 0.7: заметная; 0.7 < rxy < 0.9: высокая; 0.9 < rxy < 1: весьма высокая; В нашем примере связь между признаком Y и фактором X заметна и обратная. Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b: 2.1. Значимость коэффициента корреляции. Выдвигаем гипотезы: H0: rxy = 0, нет линейной взаимосвязи между переменными; H1: rxy ≠ 0, есть линейная взаимосвязь между переменными; Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю 314 генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1 ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия (величина случайной ошибки) и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n - 2 найти критическую точку tкрит двусторонней критической области. Если tнабл < tкрит оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |tнабл| > tкрит — нулевую гипотезу отвергают. По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=8 находим tкрит: tкрит (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306 где m = 1 - количество объясняющих переменных. Если |tнабл| > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). Поскольку |tнабл| < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим В парной линейной регрессии t2 r = t2 b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии. 2.2. Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал). Доверительный интервал для коэффициента корреляции. r(-1;0.166) 1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии). Линейное уравнение регрессии имеет вид y = -0.836 x + 12.534 Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл. Коэффициент регрессии b = -0.836 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y понижается в среднем на -0.836. Коэффициент a = 12.534 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями. Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо. Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения. Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь,