1. Исследовать сходимость числового ряда с помощью признака Даламбера. 2. Исследовать сходимость знакочередующегося ряда . 3.
1. Исследовать сходимость числового ряда с помощью признака Даламбера. 2. Исследовать сходимость знакочередующегося ряда . 3. Найти интервал сходимости степенного ряда, исследовать сходимость на концах. . 4. Вычислить определенный интеграл с точностью до . 5. Представить в виде степенного ряда решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям (для уравнения первого порядка считать четыре члена ряда, для уравнения второго порядка — пять): ,y(0)=1.
Воспользуемся принципом Даламбера
an=n+1n+23n,
an+1=n+2n+33n+1=n+2n+33⋅3n,
an+1an=n+2n+33⋅3nn+1n+23n=n+33n+1=n+33n+3,
limn→∞an+1an=limn→∞n+33n+3=limn→∞1+3n3+3n=13<1.
По принципу Даламбера, ряд сходится.
2. По принципу Лейбница, знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а модуль общего члена стремится к нулю.
Для знакочередующегося ряда (n+1 — синие точки, ln(n+1) — оранжевые)
n=1∞-1nlnn+1n+1
оба условия выполнены, и он сходится.
3
. Имеем
R=limn→∞anan+1.
Здесь
an=14n3n+5,
an+1=14n+13n+1+5=14⋅4n3n+8,
anan+1=anan+1=4⋅4n3n+84n3n+5=43n+83n+5,
R=limn→∞43n+83n+5=limn→∞43+8n3+5n=4.
Следовательно, ряд сходится, если -4<x+2<4, т.е. -6<x<2.
Исследуем сходимость ряда на концах интервала (–6, 2). При х=–6 имеем знакочередующийся числовой ряд
n=1∞-6+2n4n3n+5=n=1∞-4n4n3n+5=n=1∞-1n4n-13n+5
И он, очевидно, сходится. При х=2 имеем числовой ряд
n=1∞2+2n4n3n+5=n=1∞4n4n3n+5=n=1∞14n-13n+5.
Проверим его сходимость по признаку Даламбера:
limn→∞an+1an=limn→∞14n3n+814n-13n+5=limn→∞4n-13n+54n3n+8=limn→∞3n+543n+8=14<0.
И этот ряд сходится.
Итак, исходный степенной ряд
n=1∞x+2n4n3n+5
сходится при x∈-6, 2.
4
. Имеем
R=limn→∞anan+1.
Здесь
an=14n3n+5,
an+1=14n+13n+1+5=14⋅4n3n+8,
anan+1=anan+1=4⋅4n3n+84n3n+5=43n+83n+5,
R=limn→∞43n+83n+5=limn→∞43+8n3+5n=4.
Следовательно, ряд сходится, если -4<x+2<4, т.е. -6<x<2.
Исследуем сходимость ряда на концах интервала (–6, 2). При х=–6 имеем знакочередующийся числовой ряд
n=1∞-6+2n4n3n+5=n=1∞-4n4n3n+5=n=1∞-1n4n-13n+5
И он, очевидно, сходится. При х=2 имеем числовой ряд
n=1∞2+2n4n3n+5=n=1∞4n4n3n+5=n=1∞14n-13n+5.
Проверим его сходимость по признаку Даламбера:
limn→∞an+1an=limn→∞14n3n+814n-13n+5=limn→∞4n-13n+54n3n+8=limn→∞3n+543n+8=14<0.
И этот ряд сходится.
Итак, исходный степенной ряд
n=1∞x+2n4n3n+5
сходится при x∈-6, 2.
4
- 1. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ 1.1. Расчетная схема. 1.2. Параметры схемы. E2=200 В; E4=150 В; R1=R2=R3=R4=R5=R6=40 Ом. 2. ЗАДАНИЕ 2.1. Рассчитать
- 1. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ 1.1. Расчетная схема. 1.2. Параметры схемы. Uл=380 В; Za=25 Ом; Zb=10+j10 Ом;; Zc=5-j10 Ом. 2.
- 1. Исходные данные. 1) Vt = 300 шт. - годовой объем производства ПИИ продукции
- 1 июня текущего года ООО «Калуга-хлеб» получила заём в сумме 300 000 рублей сроком на
- 1)Какие из приведѐнных реакций протекают самопроизвольно: а) 3Н2 + N2 ↔2 NH3; б) N2О4 ↔ 2
- 1.Какие нарушения таможенного законодательства Союза усматриваются в действиях ООО «Прутик»? 2.Перечислите действия должностных лиц таможенных
- 1) Какие требования могут быть выдвинуты в жалобе с целью минимизировать наказание по делу? 2)
- 1. Запишите значение категории «личность» на ваш взгляд. 2. Понаблюдайте за знакомыми людьми и
- 1.Изучается зависимость себестоимости одного изделия (У,р.) от величины выпуска продукции (х, тыс.шт.) по группе
- 1) Изучить условия заботы заданной детали и требования, предъявляемые к ней; 2) выбрать сплав
- 1) Имеются ли в действиях ООО «Нефтепродукт-Ойл» признаки нарушения антимонопольного законодательства? Если да, то
- 1 (Использовать файл excl баланс банка Венец) а) по активу (размещённые средства) за каждый год (2019
- 1.Используя предложенные исходные данные заполнить: товарно-транспортную накладную, акт на оприходование товаров, поступивших без счета
- 1.Используя приведенные в таблице шкалы спроса и предложения брюквы,постройте кривые спроса и предложения брюквы;