Анализ линейной электрической цепи постоянного тока 1. Произвольно задать условные положительные токи ветвей 2. Определить количество

Анализ линейной электрической цепи постоянного тока 1. Произвольно задать условные положительные токи ветвей 2. Определить количество ветвей схемы 3. Определить количество узлов схемы 4. Составить уравнения по законам Кирхгофа 5. Составить и решить уравнения по методу контурных токов 6. Составить и проверить уравнение баланса мощностей 7. Определить показание вольтметра Рис.1.1. Заданная схема Дано: R1=8 Ом, R2=3 Ом, R3=1 Ом, R4=4 Ом, R5=2 Ом, R6=2 Ом, E1=54 B, E2=27 B, E3=3 B.

Обозначаем на схеме условно-положительные направления токов в ветвях и узлы (рис.1.2). Вольтметр при расчете можно убрать ввиду его бесконечно большого сопротивления, т.к. в этом случае он не оказывает влияние на расчеты.
Рис.1.2. Расчетная схема
В получившейся схеме имеем n=4 узлов. Обозначим на схеме узлы электрической цепи 1, 2, 3, 4 и независимые контуры с их направлениями обхода, например, по часовой стрелке (рис. 1.2). Тогда при решении законами Кирхгофа по 1-му закону должно быть составлено n-1=4-1=3 уравнений. Также в схеме N=6 ветвей, поэтому по 2-му закону Кирхгофа при решении законами Кирхгофа должно быть составлено N-(n-1) =6-(4-1) =3 уравнений. Соответственно, всего должно быть 6 уравнений с шестью неизвестными токами. Таким образом, при расчете данной цепи по данному методу придется решать систему, состоящую из 6-ти уравнений.
-I3+I4+I5=0-для узла 1-I1-I2+I3=0-для узла 2I2-I5-I6=0-для узла 3-I4R4-I6R6+I5R5=0-для контура II1R1+I4R4+I3R3=E1+E3-для контура II-I1R1+I2R2+I6R6=E2-E1-для контура III
После подстановки значений получим
-I3+I4+I5=0--I1-I2+I3=0I2-I5-I6=0-4I4-2I6+2I5=08I1+4I4+1I3=57-8I1+3I2+2I6=-27
2

. Решаем методом контурных токов
Обозначаем на схеме контурные токи (I11, I22, I33) в контурах (рис.1.2), направления обхода контуров (например, по часовой стрелке) и составляем уравнения для имеющихся в схеме трех независимых контуров
Система уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для контурных токов, для рассматриваемой цепи имеет вид:
I11R4+R5+R6-I22R4-I33R6=0-I11R4+I22R1+R3+R4-I33R1=E1+E3-I11R6-I22R1+I33R1+R2+R6=E2-E1
После подстановки исходных данных имеем
I114+2+2-4I22-2I33=0-4I11+I228+1+4-8I33=57-2I11-8I22+I338+3+2=-27
Упрощаем
8I11-4I22-2I33=0-4I11+13I22-8I33=57-2I11-8I22+13I33=-27
Решим систему по методу Крамера (с помощью определителей):
Находим - главный определитель системы как
Где из составленной выше системы уравнений собственные контурные сопротивления, определяемые суммой сопротивлений приемников в каждом контуре:
R11=R4+R5+R6=4 Ом; R22=R1+R3+R4=13 Ом;R33=R1+R2+R6=13 Ом
Смежные контурные сопротивления, определяемые сопротивлениями приемников, содержащихся в ветви, смежной для двух контуров, составляют:
R12=R21=-R4=-4 Ом;
R13=R31=-R6=-2 Ом;
R23=R32=-R1=-8 Ом
Находим
∆=8-4-2-413-8-2-813=8∙13∙13+-4∙-8∙-2+-4∙-8∙-2--2∙13∙-2--4∙-4∙13--8∙-8∙8=1352-64-64-52-208-512=452
Аналогично находим остальные определители как k - определитель, полученный из определителя заменой столбца с номером k, столбцом правой части системы уравнений
∆1=0-4-25713-8-27-813=2310
∆2=80-2-457-8-2-2713=3756
∆3=8-40-41357-2-8-27=1728
Находим контурные токи
I11=∆1∆=2310452=5,111 А
I22=∆2∆=3756452=8,310 А
I33=∆3∆=1728452=3,823 А
Найдем реальные токи в ветвях по величине и направлению:
I1=I22-I33=8,310-3,823=4,487 A
I2=I33=3,823 A
I3=I22=8,310 A
I4=I22-I11=8,310-5,111=3,199 A
I5=I11=5,111 A
I6=I33-I11=3,823-5,111=-1,288 A
Отрицательное значение тока I6 указывает на то, что в действительности он направлен противоположно его обозначенному и принятому направлению на рис.1.2.
Составим баланс мощностей
суммарная мощность источников равна
Pист=E1∙I1+E2∙I2+E3∙I3=54∙4,487+27∙3,823+3∙8,310=370,449 Вт
суммарная мощность приемников равна
Pпр=I12∙R1+I22∙R2+I32∙R3+I42∙R4+I52∙R5+I62∙R6
Pпр=4,4872∙8+3,8232∙3+8,3102∙1+3,1992∙4+5,1112∙2+-1,2882∙2=370,464 Вт
Получили, что
Pист≈Pпр, т.е.370,449 Вт≈370,464 Вт
С незначительной погрешностью от округлений промежуточных вычислений баланс выполняется.
Находим показание вольтметра