Аппроксимация. Аппроксимировать функцию, заданную таблично методом наименьших квадратов и сравнить между собой σ, найти его

Аппроксимация. Аппроксимировать функцию, заданную таблично методом наименьших квадратов и сравнить между собой σ, найти его минимальное значение. В качестве аппроксимирующих функций рассмотреть: - линейную зависимость y=ax+b упрощенная квадратичная y=ax2+b x y* 0 50 10 70 20 100 30 135 40 175 50 260 60 360 70 500 где y=y*+y*20=

Рассчитаем значения для y.
x
y
0 52,5
10 73,5
20 105
30 141,75
40 183,75
50 273
60 378
70 525
При нахождении приближающей функции в виде многочлена первой степени y=ax+b, коэффициенты выражаются из системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
σ1=i=0myi-fxi2=i=0myi-axi+b2
ai=0nxi2+bi=0nxi=i=0nxiyiai=0nxi+nb=i=0nyi
Произведем расчет:
n xi
yi
xi2
xi*yi
1 0 52,5 0 0
2 10 73,5 100 735
3 20 105 400 2100
4 30 141,75 900 4252,5
5 40 183,75 1600 7350
6 50 273 2500 13650
7 60 378 3600 22680
8 70 525 4900 36750
Сумма 280 1732,5 14000 87517,5
Итак, составим систему
14000∙a+280∙b=87517,5280∙a+8∙b=1732,5a=6,4b=-7,438
В итоге имеем функцию многочлена 1-й степеней:
y=6,4x-7,438
Определим величину среднеквадратичной погрешности для найденной функции

. Составим расчетную таблицу:
n xi
yi
y'
yi-y'2
1 0 52,5 -7,4375 3592,503906
2 10 73,5 56,5625 286,8789063
3 20 105 120,5625 242,1914063
4 30 141,75 184,5625 1832,910156
5 40 183,75 248,5625 4200,660156
6 50 273 312,5625 1565,191406
7 60 378 376,5625 2,06640625
8 70 525 440,5625 7129,691406
Сумма 18852,09375
Значит, среднеквадратичная погрешность равна
σ1=i=0myi-6,4∙xi-7,43752=18852,09375
При нахождении приближающей функции в виде y=ax2+b, коэффициенты выражаются из системы двух линейных уравнений с тремя неизвестными:
σ2=i=0myi-fxi2=i=0myi-axi2+b2
ai=0nxi4+bi=0nxi2=i=0nxi2yiai=0nxi2+bn=i=0nyi
Произведем расчет:
n xi
yi
xi2
xi4
xi2*yi
1 0 52,5 0 0 0
2 10 73,5 100 10000 7350
3 20 105 400 160000 42000
4 30 141,75 900 810000 127575
5 40 183,75 1600 2560000 294000
6 50 273 2500 6250000 682500
7 60 378 3600 12960000 1360800
8 70 525 4900 24010000 2572500
Сумма 280 1732,5 14000 46760000 5086725
Итак, составим систему
46760000∙a+14000∙b=508672514000∙a+8∙b=1732,5a=0,092b=55,018
В итоге имеем функцию многочлена 1-й степеней:
y=0,092x2+55,018
Определим величину среднеквадратичной погрешности для найденной функции