Чем отличаются спектральные плотности мощности процессов с корреляционными функциями: Rτ=σ2e-ατ,Rτ=σ2e-2ατ,Rτ=σ2e-ατcosω0τ

Чем отличаются спектральные плотности мощности процессов с корреляционными функциями: Rτ=σ2e-ατ,Rτ=σ2e-2ατ,Rτ=σ2e-ατcosω0τ

Запишем соответствующие спектральные плотности:
Rτ=σ2e-ατ Gω=2ασ2ω2+α2
Rτ=σ2e-2ατ Gω=4ασ2ω2+4α2
Rτ=σ2e-ατcosω0τ Gω=2ασ2ω2+ω02+α2ω-ω02+α2ω+ω02+α2
Изобразим примерные графики корреляционных функций (для построения графиков использовались значения σ2=ω0=5,α=1):
А) Rτ=σ2e-ατ
Б) Rτ=σ2e-2ατ
В) Rτ=σ2e-ατcosω0τ
Графики корреляционных функций без периодической составляющей cosω0τ будет постепенно снижаться со значения дисперсии R0=σ2 к нулевому значению, причем чем выше показатель степени у экспоненты, тем быстрее значение корреляционной функции стремится нулю .
Добавление же множителя cosω0τ вызывает колебания корреляционной функции вокруг нуля, т.е. имеем уже снижение абсолютных значений корреляционной функции к нулю, скорость же снижения все также зависит от показателя степени у экспоненты.
Изобразим примерные графики соответствующих спектральных плотностей:
А) Gω=2ασ2ω2+α2
Б) Gω=4ασ2ω2+4α2
В) Gω=2ασ2ω2+ω02+α2ω-ω02+α2ω+ω02+α2
Различие спектральных плотностей а) и б) фактически является изменением масштаба корреляционной функции в a=2, что ведет (как было показано в задаче 3) к изменению спектральной плотности Gω=Gω22

.
Добавление же множителя cosω0τ вызывает колебания корреляционной функции вокруг нуля, т.е. имеем уже снижение абсолютных значений корреляционной функции к нулю, скорость же снижения все также зависит от показателя степени у экспоненты.
Изобразим примерные графики соответствующих спектральных плотностей:
А) Gω=2ασ2ω2+α2
Б) Gω=4ασ2ω2+4α2
В) Gω=2ασ2ω2+ω02+α2ω-ω02+α2ω+ω02+α2
Различие спектральных плотностей а) и б) фактически является изменением масштаба корреляционной функции в a=2, что ведет (как было показано в задаче 3) к изменению спектральной плотности Gω=Gω22