Элементарный случайный процесс описывается функцией Y(t) (t>0), где Х – распределенная по закону (см.

Элементарный случайный процесс описывается функцией Y(t) (t>0), где Х – распределенная по закону (см. таблицу) случайная величина. Найти: а) математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение случайного процесса; б) корреляционную функцию и нормированную корреляционную функцию случайного процесса; в) изобразить семейство возможных реализаций. Yt Закон распределения СВ Х Yt=Acost-X равномерный закон на [a,b]

Поскольку X распределена равномерно на [a,b], т.е. плотность равна:
fx=1b-a,x∈a;b
Тогда математическое ожидание случайного процесса:
MYt=abAcost-xb-adx=-Asint-xb-aab=
=-Ab-asint-b-sin(t-a)=2Asinb-a2cost-a+b2b-a
Находим дисперсию:
DY(t)=abA2cos2t-xb-adx-MYt2=
=A22(b-a)ab1+cos2t-xdx-MYt2=
=A22b-ax-sin2t-x2ab=
=A22-A2sin2t-b-sin2t-a4b-a-MYt2=
=A22+A2sinb-acos2t-a+b2(b-a)-4A2sin2b-a2cos2t-a+b2(b-a)2
Тогда среднеквадратическое отклонение случайного процесса:
σYt=A22+A2sinb-acos2t-a+b2(b-a)-4A2sin2b-a2cos2t-a+b2(b-a)2
Чтобы найти корреляционную функцию, записываем центрированный случайны процесс:
yt=yt-Myt=Acost-x-2Asinb-a2cost-a+b2b-a
Тогда корреляционная функция:
Kyt1,t2=Myt1yt2=
=MAcost1-x-2Asinb-a2cost1-a+b2b-aAcost2-x-2Asinb-a2cost2-a+b2b-a=
=A2Mcost1-xcost2-x-2Asinb-a2b-acost1-a+b2+cost2-a+b2+4A2b-a2sin2b-a2cost1-a+b2cost2-a+b2
Поскольку:
Mcost1-xcost2-x=abcost1-xcost2-xb-adx=
=12b-aabcost1-t2+cost1+t2-2xdx=
=cost1-t2x-sint1+t2-2x22b-aab=
=cost1-t22-sint1+t2-2b-sint1+t2-2a4b-a=
=cost1-t22+sinb-acost1+t2-a+b2b-a
Окончательно записываем:
Kyt1,t2=A2cost1-t22+sinb-acost1+t2-a+b2b-a-2Asinb-a2b-acost1-a+b2+cost2-a+b2+4A2b-a2sin2b-a2cost1-a+b2cost2-a+b2
А нормированная корреляционная функция:
ρyt1,t2=Kyt1,t2DY(t)
где Kyt1,t2, DY(t) указаны выше.
Семейство возможных реализаций случайного процесса Yt=Acost-X есть синусоиды с амплитудой A, т.е.: