Исходные данные: m=8, N=2, k=1, R1H=R2H=1, C1H=0.654, L1H=0.862813, C2H=0.54407, L2H=0.54407, C3H=0.862813, L3H=0.654. Исходная схема представлена

Исходные данные: m=8, N=2, k=1, R1H=R2H=1, C1H=0.654, L1H=0.862813, C2H=0.54407, L2H=0.54407, C3H=0.862813, L3H=0.654. Исходная схема представлена на рис. 1. Рис. 1 – Исходная схема согласно варианту задания

Вычислим реальные параметры элементов схемы, используя соотношения:
R1=R2=500⋅N⋅R1H=500⋅2⋅1=1000 Ом;
ω0=1000⋅1+k⋅m=1000⋅1+1⋅8=5660радc;
L1=L1H⋅R1ω0=0.862813⋅10005660=0.152 Гн;
L2=L2H⋅R1ω0=0.54407⋅10005660=0.096 Гн;
L3=L3H⋅R1ω0=0.654⋅10005660=0.116 Гн;
C1=C1HR1⋅ω0=0.6541000⋅5660=115.5 нФ;
C2=C2HR1⋅ω0=0.544071000⋅5660=96.13 нФ;
C3=C3HR1⋅ω0=0.8628131000⋅5660=152.40 нФ.
Согласно варианта задания: первый элементарный четырёхполюсник состоит из 4-х элементов, а второй – из 2-х. Покажем на рис. 2 исследуемый полный четырёхполюсник.
Рис. 2 – Исследуемый четырёхполюсник
Изобразим на рис. 3 исследуемые четырёхполюсники, согласно варианта задания.
Рис. 3 – Выделение элементарных четырёхполюсников
Рассмотрим каждый элементарный четырёхполюсник.
Покажем отдельно на рис. 4 первый элементарный четырёхполюсник, состоящий из 4-х элементов.
Рис. 4 – Первый элементарный четырёхполюсник
Определим А-параметры данного четырёхполюсника. Для этого рассмотрим два случая: опыт холостого хода и опыт короткого замыкания.
На рис. 5 изобразим схему, соответствующую опыту холостого хода.
Рис. 5 – Опыт холостого хода для первого элементарного четырёхполюсника
Система уравнений, связывающие токи и напряжения цепи через А-параметры имеет вид:
U1=A11⋅U2-A12⋅I2I1=A21⋅U2-A22⋅I2
Из этой системы можно определить следующие два элемента матрицы А-параметров в режиме холостого хода:
A11=U1U2I2=0;
A21=I1U2I2=0.
Схема, показанная на рис

. 5, представляет собой параллельное соединение двух сопротивлений:
Z1=j⋅ω⋅L1;
Z2=1j⋅ω⋅C2+j⋅ω⋅L2=1-ω2⋅L1⋅C1j⋅ω⋅C1.
Тогда общее сопротивление равно:
Z=Z1⋅Z2Z1+Z2=j⋅ω⋅L1⋅1-ω2⋅L1⋅C1j⋅ω⋅C1j⋅ω⋅L1+1-ω2⋅L1⋅C1j⋅ω⋅C1
Преобразовывая, получаем
Z=j⋅ω⋅L1⋅1-ω2⋅L1⋅C11-2⋅ω2⋅L1⋅C1
Поскольку
U1=IL1⋅Z1=IL2⋅Z2
U2=IL2⋅j⋅ω⋅L2
То
A11=Z2j⋅ω⋅L2=1-ω2⋅L1⋅C1j⋅ω⋅C1⋅1j⋅ω⋅L2
Или
A11=ω2⋅L1⋅C1-1ω2⋅L2⋅C1
Заметим, что
U1=I1⋅Z
Откуда следует, что
I1=U1Z
И
U2=U1Z2⋅j⋅ω⋅L2
Тогда
A21=U1Z⋅Z2U1⋅j⋅ω⋅L2
После преобразования, получаем
A21=1-2⋅ω2⋅L1⋅C1j⋅ω3⋅L1⋅L2⋅C1⋅(ω2⋅L1⋅C1-1)
На рис. 6 изобразим схему, соответствующую опыту короткого замыкания.
Рис. 6 - Опыт короткого замыкания для первого элементарного четырёхполюсника
Определим последние два элемента матрицы А-параметров из опыта короткого замыкания:
A12=U1-I2U2=0;
A22=I1-I2U2=0.
Введём следующие обозначения:
Z2=1j⋅ω⋅C2⋅j⋅ω⋅L21j⋅ω⋅C2+j⋅ω⋅L2=j⋅ω⋅L21-ω2⋅L2⋅C2;
Z1=1j⋅ω⋅C1+Z2=1-ω2⋅L2⋅C1+C2j⋅ω⋅C1⋅1-ω2⋅L2⋅C2;
Z=j⋅ω⋅L1⋅Z1j⋅ω⋅L1+Z1=j⋅ω⋅L1⋅1-ω2⋅L2⋅C1+C21-ω2⋅L2⋅C1+C2-ω2⋅L1⋅C1⋅(1-ω2⋅L2⋅C2)
Тогда, согласно закону Ома:
I1=U1Z
Также заметим, что
U1=IL1⋅j⋅ω⋅L1=IC1⋅1j⋅ω⋅C1+IL2⋅j⋅ω⋅L2
IL2⋅j⋅ω⋅L2=I2⋅1j⋅ω⋅C1
Откуда
IL2=-1ω2⋅L2⋅C1⋅I2
Согласно первому закону Кирхгофа:
IC1+I2=IL2
Откуда
IC1=IL2-I2=-1ω2⋅L2⋅C1⋅I2-I2=-I2⋅1+ω2⋅L2⋅C2ω2⋅L2⋅C2
Тогда
U1=-I2⋅1+ω2⋅L2⋅C2ω2⋅L2⋅C2⋅1j⋅ω⋅C1-1ω2⋅L2⋅C1⋅j⋅ω⋅L2⋅I2
I1=U1Z=-I2⋅1+ω2⋅L2⋅C2ω2⋅L2⋅C2⋅1j⋅ω⋅C1-1ω2⋅L2⋅C1⋅j⋅ω⋅L2⋅I2j⋅ω⋅L1⋅1-ω2⋅L2⋅C1+C21-ω2⋅L2⋅C1+C2-ω2⋅L1⋅C1⋅1-ω2⋅L2⋅C2
Таким образом
A12=1+ω2⋅L2⋅C2ω2⋅L2⋅C2⋅1j⋅ω⋅C1+1ω2⋅L2⋅C1⋅j⋅ω⋅L2
A22=1+ω2⋅L2⋅C2ω2⋅L2⋅C2⋅1j⋅ω⋅C1+1ω2⋅L2⋅C1⋅j⋅ω⋅L2j⋅ω⋅L1⋅1-ω2⋅L2⋅C1+C21-ω2⋅L2⋅C1+C2-ω2⋅L1⋅C1⋅1-ω2⋅L2⋅C2
Покажем на рис