Известно, что ξ1 и ξ2 - независимые случайные величины имеющие показательное распределение Ехр(1). Существуют

Известно, что ξ1 и ξ2 - независимые случайные величины имеющие показательное распределение Ехр(1). Существуют ли дисперсии случайных величин ηi=ξiξ1+ξ2, i=1,2. В случае положительного ответа, найти коэффициент корреляции между случайными величинами η1 и η2 Подсказка: вычисления распределений производить не надо. Пояснение: Ехр(1) = E(0,1) - табл.

Рассмотрим какие значения принимают ηi:
ηi=ξiξ1+ξ2
Поскольку ξi>0, то
0<ξiξ1+ξ2<1
Пусть fη(x) – плотность распределения случайной величины ηi, тогда по закону нормировки
01fη(x)dx=1
Дисперсия случайной величины
Dηi=01x-Mηi2fη(x)dx
Поскольку 0<ηi<1, то математическое ожидание 0<Mηi<1, значит и для любого x∈(0;1):
0<x-Mηi2<1
Тогда с учётом положительной определённости fη(x) при x∈(0;1)
0<01x-Mηi2fη(x)dx<01fη(x)dx=1
Таким образом, дисперсии ηi существуют.
Найдём коэффициент корреляции.
Covη1,η2=Covξ1ξ1+ξ2,ξ2ξ1+ξ2=Covξ1ξ1+ξ2,ξ2+ξ1-ξ1ξ1+ξ2=
=Covξ1ξ1+ξ2,1-ξ1ξ1+ξ2=Covξ1ξ1+ξ2,-ξ1ξ1+ξ2=-Covξ1ξ1+ξ2,-ξ1ξ1+ξ2=
=-Dξ1ξ1+ξ2=-Dη1;
Аналогично, приходим к результату
Covη1,η2=Covξ1-ξ2+ξ2ξ1+ξ2,ξ2ξ1+ξ2=-Dη2
Значит,
Covη1,η2=-Dη1=-Dη2⟹ Dη1=Dη2.
Коэффициент корреляции:
r=Covη1,η2Dη1∙Dη2=-Dη1Dη1Dη1=-1.