Левая грань пластины (x=0) теплоизолирована, на правой x=7 поддерживаются нулевая температура. Коэффициент теплопроводности α=2.

Левая грань пластины (x=0) теплоизолирована, на правой x=7 поддерживаются нулевая температура. Коэффициент теплопроводности α=2. Начальное распределение температуры − линейное, причем левая грань находится при температуре T0=5, правая − при нулевой. Найти закон выравнивания температуры.

Функция температуры пластины u(x,t) удовлетворяет уравнению теплопроводности
ut'=αuxx'',
ut'=2uxx'', 0<x<7, t>0,
(1)
граничным условиям
uxx=0=0; ux=7=0,
(2)
и начальному условию
ut=0=u0x=57-x7,
(3)
Для решения начально-краевой задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T' t=2X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на 2Xx∙T(t)
T'(t)2T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T't+2λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (2), получим
X'0⋅Tt=0, X7⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X'0=0, X7=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X'0=0, X7=0
Общее решение уравнения имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx,
X'x=C1λsinλx+C2λ cosλx
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий (4)
X'(0)=C2λ=0, ⟹ C2=0X(7)=C1 cos7λ=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
cos7λ=0,
7λ=π2+πk, k=0,1,2,…
Собственные значения задачи равны
λk=π2k+1142, k=0,1,2,…
Им соответствуют собственные функции
Xkx=cosπ(2k+1)x14, k=0,1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tk'(t)+2π(2k+1)142Tkt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tkt=Ake- 2k+12π2t98.
Решение ux,t исходной задачи записывается в виде
ux,t=k=0∞TktXkx=k=0∞Ake- 2k+12π2t98cosπ(2k+1)x14.
Коэффициенты Ak этого ряда найдем из начального условия (3)
ut=0=k=0∞Ak cosπ(2k+1)x14=57-x7.
Коэффициенты Ak представляют собой коэффициенты разложения функции u0(x)= 57-x7 в ряд Фурье по собственным функциям cosπ(2k+1)x14k=0∞
Ak=270757-x7cosπ2k+1x14dx=1049∙14π2k+1077-xdsinπ2k+1x14=
=207π2k+17-xsinπ2k+1x1407=0+07sinπ2k+1x14dx=
=-40π22k+12cosπ2k+1x1407=40π22k+12.
Таким образом, решение исходной начально-краевой задачи имеет вид
ux,t=k=0∞40π22k+12e- 2k+12π2t98cosπ(2k+1)x14.
Ответ: Закон выравнивания температуры имеет вид
ux,t=40π2k=0∞12k+12e- 2k+12π2t98cosπ(2k+1)x14.