Методом Фурье найти решение уравнения колебаний струны длины l=2, закрепленной на концах: и удовлетворяющей

Методом Фурье найти решение уравнения колебаний струны длины l=2, закрепленной на концах: и удовлетворяющей следующим начальным условиям

Перепишем уравнение в виде:
(1)
при начальных условиях
(2)
и краевых условиях
. (3)
Данная задача (1)–(3) является однородной гиперболического типа с однородными граничными условиями. Решаем ее методом Фурье (методом разделения переменных).
Ищем решение в виде . Подставляем в исходное уравнение:
.
Последнее равенство выполняется только в том случае, если обе части его не зависят ни от х, ни от t, т.е. представляют собой одну и ту же постоянную, которую обозначим за , т.е.
.
Отсюда получаем два обыкновенных однородных линейных уравнений второго порядка
и
.
Используя граничные условия, составляем задачу Штурма-Лиувилля:
.
Решаем ее .
Составим характеристическое уравнение: . Его решения: .
Рассмотрим 3 различных случая.
1) λ<0.
В этом случае и общее решение уравнения имеет вид
.
Подставляя граничные условия, получим систему
Определитель системы:
.
Значит, С1=С2=0 и задача Штурма-Лиувилля в данном случае имеет только нулевое решение.
2) λ=0.
В этом случае и общее решение уравнения имеет вид
.
Подставляем граничные условия:
.
Также имеем только нулевое решение.
3) λ >0.
В этом случае и общее решение уравнения имеет вид
.
Подставляем граничные условия:
.
Система будет иметь ненулевое решение, если С2≠0, .
Отсюда
.
Получили собственные значения

.
Составим характеристическое уравнение: . Его решения: .
Рассмотрим 3 различных случая.
1) λ<0.
В этом случае и общее решение уравнения имеет вид
.
Подставляя граничные условия, получим систему
Определитель системы:
.
Значит, С1=С2=0 и задача Штурма-Лиувилля в данном случае имеет только нулевое решение.
2) λ=0.
В этом случае и общее решение уравнения имеет вид
.
Подставляем граничные условия:
.
Также имеем только нулевое решение.
3) λ >0.
В этом случае и общее решение уравнения имеет вид
.
Подставляем граничные условия:
.
Система будет иметь ненулевое решение, если С2≠0, .
Отсюда
.
Получили собственные значения