Методом конечных разностей найти решение краевой задачи –y''+qxy=f(x)y0=y0,y1=y1 с шагами h1=1/3, h2=1/6 и оценить

Методом конечных разностей найти решение краевой задачи –y''+qxy=f(x)y0=y0,y1=y1 с шагами h1=1/3, h2=1/6 и оценить погрешность по правилу Рунге. Построить графики полученных приближенных решений. qx=11+x fx=-11+x+ln1+x-1 y0=0 y1=ln4-2 –y''+11+xy=-11+x+ln1+x-1y0=0,y1=ln4-2

Разобьем отрезок [0,1] на части с шагом h=1/3, получим четыре узловые точки:
x0=0,
x1=13,
x2=23,
x3=1,
Производные заменим их конечно-разностными аппроксимациями:
для внутренних точек:
y''xi=yi+1-2yi+yi-1h2
–y''+11+xy=-11+x+ln1+x-1y0=0,y1=ln4-2
y0=0-y2-2y1+y0(1/3)2+11+x1 y1=-11+x1+ln1+x1-1-y3-2y2+y11/32+11+x1y2=-11+x2+ln1+x2-1y3=ln4-2
y0=0-9y2+18y1-9y0+0,75y1=0,03768-9y3+18y2-9y1+0,6y2=0,11083y3=-0,61371
y0=0-9y0+18,75y1-9y2=0,03768-9y1+18,6y2-9y3=0,11083y3=-0,61371
Откуда:
y0=0,
y1=-0,17932,
y2=-0,37776,
y3=0,61371,
Разобьем отрезок [0,1] на части с шагом h=1/6, получим семь узловых точек:
x0=0,
x1=16,
x2=13,
x3=12,
x4=23,
x5=56,
x6=1,
Производные заменим их конечно-разностными аппроксимациями:
для внутренних точек:
y''xi=yi+1-2yi+yi-1h2
y0=0-y2-2y1+y0(1/6)2+11+x1y1=-11+x1+ln1+x1-1-y3-2y2+y11/62+11+x2y2=-11+x2+ln1+x2-1-y4-2y3+y21/62+11+x3y3=-11+x3+ln1+x3-1-y5-2y4+y3(1/6)2+11+x4y4=-11+x4+ln1+x4-1-y6-2y5+y4(1/6)2+11+x5y5=-11+x5+ln1+x5-1y6=ln4-2
y0=0-36y0+72y1-36y2+0,85714y1=0,01129-36y1+72y2-36y3+0,75y2=0,03768-36y2+72y3-36y4+0,66667y3=0,07213-36y3+72y4-36y5+0,6y4=0,11083-36y4+72y5-36y6+0,545455=0,15159y6=-0,61371
y0=0-36y0+72,85714y1-36y2=0,01129-36y1+72,75y2-36y3=0,03768-36y2+72,66667y3-36y4=0,07213-36y3+72,6y4-36y5=0,11083-36y4+72,545455y5-36y6=0,15159y6=-0,61371
Откуда:
y0=0,
y1=-0,08847,
y2=-0,17935,
y3=-0,27502,
y4=-0,37779,
y5=-0,48993,
y6=-0,61371,
Оценка погрешности по правилу Рунге:
σ=yih-yih23
x y(x) (h=1/3) y(x) (h=1/6) погрешность по рунге
0 -1,8E-16 -2,4E-16 0
0,166667
-0,08847
0,333333 -0,17932 -0,17935 0,000037
0,5
-0,27502
0,666667 -0,37776 -0,37779 0,000027
0,833333
-0,48993
1 -0,61371 -0,61371 0
Графики приближенных решений: