На эллипсе x225+y29=1 найти точку, модуль разности фокальных радиусов которой равен 6,4. -80010313690x y -5 5 3 -3 O с=4 -4 F1 F2 M(x1;y1) x1 r1 r2 Рис. 1 y1 00x y -5 5 3 -3 O с=4 -4 F1 F2 M(x1;y1) x1 r1 r2 Рис. 1 y1

На эллипсе x225+y29=1 найти точку, модуль разности фокальных радиусов которой равен 6,4. -80010313690x y -5 5 3 -3 O с=4 -4 F1 F2 M(x1;y1) x1 r1 r2 Рис. 1 y1 00x y -5 5 3 -3 O с=4 -4 F1 F2 M(x1;y1) x1 r1 r2 Рис. 1 y1

Дано каноническое уравнение эллипса, из которого видно, что большая полуось равна a=25=5, малая полуось - b=9=3. Построим эллипс, соблюдая масштаб (см. рис.1).
Фокальными радиусами точки эллипса называется расстояние от этой точки до фокусов эллипса.
Эллипс симметричная фигура относительно координатных осей, поэтому таких точек, удовлетворяющих условию задачи, четыре, по одной в каждой координатной четверти. Поэтому определим такую точку на первой четверти, а потом и определим другие три.
Пусть искомая точка M(x1;y1) с фокальными радиусами r1 и r2 (рис . 1).
По определению эллипса
r1+ r2=2a=10; (1)
По условию задачи
r1- r2=6,4. (2)
Совместно решив эти два уравнения, находим фокальные радиусы точки M, а затем и ее координаты.
Сложим уравнения (1) и (2):
2r1=10+6,4;
r1=8,2.
Из (1) вычтем (2):
2r2=10-6,4;
r2=1,8.
По свойству эллипса
a2-b2=c2,
где 2c=F1F2- фокальное расстояние

. 1).
По определению эллипса
r1+ r2=2a=10; (1)
По условию задачи
r1- r2=6,4. (2)
Совместно решив эти два уравнения, находим фокальные радиусы точки M, а затем и ее координаты.
Сложим уравнения (1) и (2):
2r1=10+6,4;
r1=8,2.
Из (1) вычтем (2):
2r2=10-6,4;
r2=1,8.
По свойству эллипса
a2-b2=c2,
где 2c=F1F2- фокальное расстояние