На противоположных сторонах AB и CD квадрата ABCD вне его построены равносторонние треугольники ABK

На противоположных сторонах AB и CD квадрата ABCD вне его построены равносторонние треугольники ABK и CDM; Прямая FE проходит через центр квадрата и параллельна его стороне AB. Доказать, что отрезок, соединяющий точки пересечения медиан ∆ABK и ∆CDM перпендикулярен прямой FE и делится в точке пересечения с ней пополам.

Прямая l≡EF- является осью симметрии квадрата. Действительно, т.к. EF∥(AB), то BC⊥l и AD⊥l . Далее,
GO=OH=AE=ED=BF=FC=a2.
(a- сторона квадрата).
2. KG и MH являются одновременно и медианой, и высотой для ∆ABK и ∆CDM соответственно, следовательно,
KO=OM=KG+GO=32a+a2,
т.е . точки K, G,O, H,M лежат на одной прямой. А это значит, что
K=SlM.
leftbottomC
B
O
A
M
L
l
K
N
D
E
F
G
H
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a
a
a
a
00C
B
O
A
M
L
l
K
N
D
E
F
G
H
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a
a
a
a
Тогда
∆ABK=Sl∆CDM,
по трем соответственно симметричным вершинам.
Таким образом,
LN⊥l

. точки K, G,O, H,M лежат на одной прямой. А это значит, что
K=SlM.
leftbottomC
B
O
A
M
L
l
K
N
D
E
F
G
H
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a
a
a
a
00C
B
O
A
M
L
l
K
N
D
E
F
G
H
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a
a
a
a
Тогда
∆ABK=Sl∆CDM,
по трем соответственно симметричным вершинам.
Таким образом,
LN⊥l