Начальная температура бесконечного круглого цилиндра 0≤r≤r0 равна ut=0=u0=const, на поверхности происходит конвективный теплообмен со

Начальная температура бесконечного круглого цилиндра 0≤r≤r0 равна ut=0=u0=const, на поверхности происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна u1=const. Найти температуру цилиндра при t>0.

Будем рассматривать задачу в цилиндрической системе координат (r,φ,z). Ось z направим по оси цилиндра. Тогда учитывая осесимметричность постановки и однородность вдоль оси z, температура будет зависеть только от r и t. Распределение температуры u(r,t) в цилиндре описывается уравнением теплопроводности
ut=a2Δu, 0≤r<r0, t>0.
Запишем это уравнение в цилиндрических координатах
∂u∂t=a21r∂∂rr∂u∂r, 0≤r<r0.
(1)
где a2=k/cρ; где k − коэффициент теплопроводности; c − теплоемкость; ρ − плотность материала цилиндра.
На поверхности цилиндра r=r0 происходит конвективный теплообмен с внешней средой имеющей температуру u1 по закону Ньютона
kurr=r0=αu1-ur=r0,
ur+hur=r0=hu1,
(2)
где α − коэффициент теплообмена; h=α/k.
Начальное условие
ut=0=u0.
(3)
Будем искать ограниченное решение
u<∞, 0≤r<r0.
(4)
Сначала сделаем однородными граничными условиями (2). Для этого представим решение в виде суммы
ur,t=vr,t+u1.
Для функции vr,t постановка задачи (1) – (3) примет вид
vt=a21r∂∂rr∂v∂r, 0≤r<r0, t>0,
(5)
vr+hvr=r0=0,
(6)
vt=0=ut=0-u1=u0-u1.
(7)
v<∞, 0≤r<r0.
(8)
Будем решать начально-краевую задачу (5) − (8) методом Фурье разделения переменных

. Ищем нетривиальное частное решение в виде произведения
vr,t=ZrT(t).
Подставляем vr,t в таком виде в уравнение (5) и учитывая, что функции Z и T только одного аргумента, получим
ZrT'(t)=a2T(t)1rddrrdZdr.
Разделим уравнение на a2ZrT(t)
T'ta2Tt=1rZrddrrdZdr=-λ=const,
поскольку слева в равенстве функция только от t, а справа только от r.
В результате переменные разделяются и получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения
T't=-λa2Tt,
(9)
1rddrrdZdr=-λZr,
Z''r+1rZ'r+λZr=0,
r2Z''r+rZ'r+λr2Zr=0.
(10)
Подставляем vr,t в граничное условие (6)
Z'r0+hZr0⋅T(t)=0
Поскольку равенство должно выполняться тождественно, получим
Z'r0+hZr0=0
(11)
Уравнение (10) − это уравнение Бесселя нулевого порядка. Его решение можно представить в виде
Zr=C1J0λr+C2N0λr,
где J0(x) − функция Бесселя первого рода нулевого порядка; N0(x) − функция Бесселя второго рода (функция Неймана) нулевого порядка. Для ограниченности решения (8) необходимо получить ограниченные функции Zr