Начальная температура однородного стержня длиной l с теплоизолированной поверхностью равна T0. Начиная с момента

Начальная температура однородного стержня длиной l с теплоизолированной поверхностью равна T0. Начиная с момента времени t=0 один из концов стержня поддерживается при температуре T0, а другой − при температуре T1. Найти температуру стержня.

Распределение температуры ux,t в стержне описывается следующим одномерным уравнением теплопроводности
ut=a2uxx, 0<x<l, t>0
(1)
при начальном условии
ux,0=T0,
(2)
и граничных условиях
u0,t=T0, ul,t=T1.
(3)
Предварительно сведем начально-краевую задачу (1) − (3) к задаче с однородными граничными условиями (3). Для этого будем искать решение в виде
ux,t=vx,t+wx,t,
где wx,t − некоторая функция, удовлетворяющая граничным условиям (3). Учитывая тип граничных условий (3), функцию wx,t можно взять в виде
wx,t=u0,t+xlul,t-ul,0=T0+xlT1-T0.
Проведем замену
ux,t=vx,t+T0+xlT1-T0
(4)
Тогда для функции vx,t получим следующую постановку
vt=a2vxx, 0<x<l, t>0
(1')
ux,0=vx,0+T0+xlT1-T0=T0,
vx,0=-xlT1-T0,
(2')
v0,t=0, vl,t=0.
(3')
Для решения начально-краевой задачи (1') − (3') применим метод Фурье разделения переменных

. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде
vx,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1')
Xx∙T' (t)=a2X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на a2Xx∙T(t)
T' (t)a2T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T'(t)+a2λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (3'), получим
X0⋅Tt=0, Xl⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, Xl=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, Xl=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 Xl=C2 sinλl=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sinλl=0,
λl=πk, k=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λk=πkl2, k=1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xkx=sinπkxl, k=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tk'(t)+aπkl2Tkt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tkt=Cke-aπkl2t.
Решение для функции vx,t записывается в виде
vx,t=k=1∞TktXkx=k=1∞Cke-aπkl2tsinπkxl.
Коэффициенты Ck этого ряда найдем из начального условия (2')
ux,0=k=1∞Cksinπkxl=-xlT1-T0.
Коэффициенты Ck представляют собой коэффициенты разложения функции -xlT1-T0 в ряд Фурье по собственным функциям sinπkxlk=1∞
Ck =2l0l-xlT1-T0sinπkxldx=2πkl0lxT1-T0dcosπkxl=
=2πklxT1-T0cosπkxl0l+T1-T00lcosπkxldx=
=2πkllT1-T0cosπk+T1-T0lπksinπkxl0l=0=2T1-T0-1kπk
Таким образом, функция vx,t имеет вид
vx,t=k=1∞2T1-T0-1kπke-aπkl2tsinπkxl.
Учитывая замену (4) решение исходной начально-краевой задачи для функции u(x,t) имеет вид
ux,t=T0+xlT1-T0+2T1-T0πk=1∞-1kke-aπkl2tsinπkxl.
Ответ:
ux,t=T0+xlT1-T0+2T1-T0πk=1∞-1kke-aπkl2tsinπkxl.