Направление градиента – в сторону заряженной нити. Дано: Сферический шар из диэлектрика С радиусами a и b. Диэлектрическая

Направление градиента – в сторону заряженной нити. Дано: Сферический шар из диэлектрика С радиусами a и b. Диэлектрическая проницаемость – ε.

А) заряд q распределен по внутренней поверхности шара.
При r<a,
согласно теореме Гаусса, E=0, φ=const.
При a<r<b:
E=14πε0εqr2; φ=14πε0εqr+C
При r>b:
E=14πε0qr2; φ=14πε0qr
Константы в формуле для потенциала определяются исходя из непрерывности графиков потенциала.
График будет выглядеть так:
Синий - E(r)
Красный - φ(r)
Б) заряд распределен по объему шара с плотностью ρ.
При r<a,
так же, как и в предыдущем случае, E=0, φ=const.
При a<r<b:
E=14πε0εqr2
Где q – заряд, попавший внутрь сферы, радиуса r.
q=ρV=ρ43πr3-43πa3=43πρr3-a3
Следовательно,
E=14πε0ε1r243πρr3-a3=ρr3-a33ε0εr2=ρ3ε0εr-a3r2
Потенциал поля в этом промежутке:
φr=-Edr=-ρ3ε0εr-a3r2dr=C-ρ3ε0εr22+a3r
При r>b
Тоже самое, что и в варианте А), q – полный заряд сферического шара:
E=14πε0qr2; φ=14πε0qr
Константы в формуле для потенциала определяются исходя из непрерывности графиков потенциала.
График будет выглядеть так:
Синий - E(r)
Красный - φ(r)