Некто делает 5 выстрелов в одну и ту же мишень. Вероятность попадания в мишень

Некто делает 5 выстрелов в одну и ту же мишень. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле 0,6. X разность между числом попаданий и числом промахов. Составить ряд распределения случайной величины X, построить график функции распределения, найти математическое ожидание, моду, медиану, дисперсию, и среднее квадратическое отклонение.

При пяти выстрелах может быть от 0 до 5-ти попаданий.
Найдем вероятность каждого из этих значений по формуле Бернулли:

p = 0,6, q = 10,6=0,4 , n = 5 – общее количество выстрелов, k = 0,1,…,5 .
Случайная величина Х – разность между числом попаданий и числом промахов, может принимать значения от -5, -3, -1, 1, 3, 5:
Если было 0 попаданий, значит было 5 промахов, т.е. разность равна 05=-5, тогда вероятность этого значения .
Если было 1 попадание, значит было 4 промаха, т.е. разность равна 14=-3, тогда вероятность этого значения .
Если было 2 попадания, значит было 3 промаха, т.е

. разность равна 23=-1, тогда вероятность этого значения .
Если было 3 попадания, значит было 2 промаха, т.е. разность равна 32= 1, тогда вероятность этого значения .
Если было 4 попадания, значит был 1 промах, т.е. разность равна 41= 3, тогда вероятность этого значения .
Если было 5 попаданий, значит было 0 промахов, т.е. разность равна 50= 5, тогда вероятность этого значения .
Составляем таблицу, записывая значения хі = k, которые может принимать дискpетная случайная величина Х = (разность между числом попаданий и числом промахов), а также вероятности pі.
Х хі -5 -3 -1 1 3 5
pі 0,0102 0,0768 0,2304 0,3456 0,2592 0,0778
Проверка: сумма всех вероятностей должна быть = 1:
0,0102 + 0,0768 + 0,2304 + 0,3456 + 0,2592 + 0,0778 = 1.
Функция распределения вероятностей:
;
;
;
;
Тогда
По данным таблицы находим математическое ожидание М(х) и диспеpсию D(х):
(-5) · 0,0102 + (-3) · 0,0768 + (-1) · 0,2304 + 1 ∙ 0,3456 +
+ 3 · 0,2592 + 5 ∙ 0,0778 = 3.
= (-5)2 · 0,0102 + (-3)2 · 0,0768 + (-1)2 · 0,2304 + 12 ∙ 0,3456 +
+ 32 · 0,2592 + 52 ∙ 0,0778 – 32 = 1,2.
Среднее квадратичное отклонение это корень квадратный из дисперсии:
Мода М0(х) – это значение, которое имеет самую большую вероятность, т.е