Определить полное удлинение жёстко заделанного круглого стержня от воздействия сил Р и напряжение растяжения

Определить полное удлинение жёстко заделанного круглого стержня от воздействия сил Р и напряжение растяжения в сечении стержня диаметром 0,8d. Исходные данные: l = 1м, d = 0,02 м, Е = 2·105 МПа, Р = 2,6 кН.

28003517716500
Разбиваем длину бруса на три характерных силовых участка: I, II и III. В пределах каждого из них проводим поперечные сечения: 1-1, 2-2 и 3-3.
Используя метод сечений находим внутренние продольные силы N.
N1 = 3P = 3·2,6 = 7,8 кН.
N2 = 3P + 2P = 5P = 5·2,6 = 13,0 кН.
N3 = 3P + 2P + Р = 6P = 6·2,6 = 15,6 кН.
Площадь сечения на участке II:
(d2 = 0,8d = 0,8·0,02 = 0,016 м)
А2 = π·d22/4 = 3,14·0,0162/4 = 201,1·10-6 м2.
Напряжения в сечениях этого участка равно:
𝜎2 = N2/А2 = 13,0·103/201,1·10-6 = 64,66·106 Н/м2 =
= 64,66 МПа.
Находим удлинения отдельных участков на основании закона Гука, предварительно найдя площади сечений на участках I и III:
d1 = 0,5d = 0,5·0,02 = 0,01 м, А1 = π·d21/4 = 3,14·0,012/4 = 78,5·10-6 м2.
d3 = d = 0,02 м, А3 = π·d23/4 = 3,14·0,022/4 = 314,2·10-6 м2.
Нормальные напряжения равны:
𝜎1 = N1/А1 = 7,8·103/78,5·10-6 = 99,36 МПа.
𝜎3 = N3/А3 = 15,6·103/314,2·10-6 = 49,65 МПа.
Удлинения участков равны:
Δl1 = 𝜎1·l1/E = 𝜎1·1,3·l/E = 99,36·1,3·1,0/2·105 = 0,646·10-3м = 0,646 мм.
Δl2 = 𝜎2·l2/E = 𝜎2·1,2·l/E = 64,66·1,2·1,0/2·105 = 0,388 мм.
Δl3 = 𝜎3·l3/E = 𝜎3·l/E = 49,65·1,0/2·105 = 0,248 мм.
Полное удлинение стержня по закону Гука:
Δl = Δl1 + Δl2 + Δl3 = 0,646 + 0,388 + 0,248 = 1,282 мм ≈ 1,28 мм.
Ответ: Δl = 1,28 мм, 𝜎2 = 64,66 МПа (при d2 = 0,8d = 16 мм).