От ГПП промышленного предприятия, расположенного в точке 1, будет осуществляться электроснабжение цехов, расположенных в

От ГПП промышленного предприятия, расположенного в точке 1, будет осуществляться электроснабжение цехов, расположенных в точках 2, 3 и 4 (рисунок 2). Требуется найти оптимальную по критерию минимума денежных затрат схему электрической сети. Расчетные мощности всех узлов и затраты на передачу мощности по линии между узлами и приведены в таблице 7.

Схема расположения цехов и ГПП
Таблица 7 Исходные данные

МВА у.е./МВА
22 7 6 9 1.0 3.4 2.3 1.2 1.0 1.0
Минимизируемая целевая функция в задаче имеет вид
,(5)
где - мощность, протекающая между узлами и ,
- количество узлов в схеме.
Построим транспортную квадратную матрицу размерностью (см. таблицу 8).
Каждая ij клетка матрицы соответствует мощности, передаваемой от узла i к узлу j. Величины этих мощностей будем записывать в левой верхней части каждой клетки транспортной матрицы. В правой нижней части каждой клетки запишем удельные стоимости передачи мощности от узла i к узлу j. Следует учесть, что zij = zji.
Каждая ii (диагональная) клетка матрицы соответствует транзитной мощности через i-узел. Удельная стоимость передачи через i-узел транзитной мощности zii = 0.
Таблица 8

0
0
+


0
0
0 0
+ 0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0 0
0
Одним из допустимых решений транспортной задачи с одним источником питания является радиальная сеть (рисунок 3), для которой выполняются балансы мощности во всех узлах:
(6)
а транзитные мощности через узлы
(6’)
Для такой сети значение целевой функции составляет
Рисунок 3 Схема радиальной сети
Оптимизацию допустимого решения выполним методом потенциалов. Для этого присвоим каждому столбцу транспортной матрицы потенциал Vi, i = 1,2,3,4, а каждой строке потенциал Uj, j = 1,2,3,4. Эти потенциалы таковы, что для каждой базисной переменной, т.е. переменной не равной нулю, должно выполняться условие
(7)
Имеем семь базисных переменных .
Для всех свободных переменных (недиагональных равных нулю переменных) проверяется условие
(8)
При выполнении этого условия допустимое решение будет оптимальным.
Примем

. Тогда из (7) определим остальные потенциалы. Их значения указаны в таблице 8.
Пример расчета:
;
Проверим выполнение условия (8) для свободных переменных.
- условие выполняется;
- условие не выполняется.
Переменную переведем в разряд базисных. Увеличиваем эту переменную от нуля в положительную сторону, в клетке 23 ставим «+». Для сохранения баланса по строке 2 и столбцу 3 базисные переменные и будем уменьшать; в клетках 13 и 22 ставим «-». Для сохранения баланса базисную переменную будем увеличивать, в клетке 12 ставим «+».
После перевода в разряд базисных, а переменной в разряд свободных получим новую транспортную матрицу (таблица 9). Этой матрице соответствует новая схема электрической сети (рисунок 4.1).
Для новой матрицы по системе уравнений (7) определим потенциалы строк и столбцов. Они приведены в таблице 9.
Таблица 9

0
0
+ 0


0

0
0
+ 0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0 0
0
Рисунок 4.1 Промежуточная схема электрической сети
Для такой сети значение целевой функции составляет
Для всех свободных переменных проверим выполнение условия (8).
- условие выполняется;
- условие выполняется;
- условие не выполняется.
Переменную переведем в разряд базисных. Увеличиваем эту переменную от нуля в положительную сторону, в клетке 24 ставим «+». Для сохранения баланса по строке 2 и столбцу 4 базисные переменные и будем уменьшать; в клетках 14 и 22 ставим «-». Для сохранения баланса базисную переменную будем увеличивать, в клетке 12 ставим «+».
Получим новую транспортную матрицу (таблица 10)