Отделить корни аналитически. Проверить условия применимости метода Ньютона к решению уравнения на отрезке. Выполнить

Отделить корни аналитически. Проверить условия применимости метода Ньютона к решению уравнения на отрезке. Выполнить две итерации для уточнения корня, взяв в качестве начального приближения левую или правую границу отрезка, оценить погрешность: x3-3x2+9x-8=0

Fx=x3-3x2+9x-8
fx=0 является алгебраическим уравнением, значит уравнение имеет 3 корня, среди которых по крайней мере 1 действительный. Отделим корни аналитически. Найдем производную и вычислим корни уравнения f’(x)=0
f'(x)=3x2-6x+9=0
x2-2x+3=0, D=-22-4∙3=-8<0
Значит f'(x) не меняет знака. Поскольку коэффициент при x2 положителен, то f'(x)>0 при всех x, т.е. fx всюду возрастает, уравнение fx=0 имеет один действительный корень.
При x=1 f1=-1<0, при x=2 f2=6>0. Корень заключён в промежутке x∈[1, 2].
Проверим условия применимости метода Ньютона на отрезке [1,2]
Таблица 1
Проверка условий применимости метода Ньютона на отрезке
[a, b]
[1, 2]
выполнение
fafb<0
f1f2=-1∙6=-6<0
выполнено
f'x≠0,∀x∈a, b,
sign f'x=const
f'(x)=3x2-6x+9>0
при x∈1, 2
выполнено
sign f''x=const ∀x∈a, b
f''x=6x-6>0
при x∈[1.01, 2]
выполнено
Поскольку f''1=0, то все условия применимости выполняются на отрезке x∈[1.01, 2], который и будем считать отрезком, содержащим корень.
В случае выполнения условий применимости, начальное приближение метода Ньютона должно удовлетворять неравенству: fx0 f''x0>0

. Так как вторая производная положительна и f(b) > 0, то в качестве начального приближения выбираем правую границу отрезка x0=2.
Выполним две итерации метода Ньютона по формуле
xk+1= xk- fxkf'xk, k=0,1,…
Первая итерация:
x1= x0- fx0f'x0=2- f2f'2=2-63∙22-6∙2+9=43=113
Вторая итерация:
x2= x1- fx1f'x1=43- f43f'43=2-433-3∙432+9∙43-83∙432-6∙43+9=200171≈1.1696
Получим оценку погрешности, используя оценки для производных функции f(x):
M2=max[1.01, 2]f''x=max[1.01, 2]6x-6=6;
m1=min[1.01, 2]f'x=min[1.01, 2]3x2-6x+9≈6;
t- x2 ≤ M22m1x2- x12=1243-2001712≤0.013.
В соответствии с этой оценкой верными являются не более, чем lдва десятичных знака приближенного числа (или один знак после запятой)