По плану производства предприятию надо изготовить 88 изделий. Эти изделия изготавливаются по двум технологиям.

По плану производства предприятию надо изготовить 88 изделий. Эти изделия изготавливаются по двум технологиям. Производственные затраты на изготовление n изделий первым способом составляют 11n+n2, а вторым – 7n+n2 . Сколько изделий каждого вида надо изготовить, чтобы затраты на их производство были бы минимальными?

Обозначим х1 – количество изделий, изготавливаемых по первому технологическому способу, по второму – х2. Суммарные затраты на их производство составят:
F(X) = 11x1+x12+7x2+x22
При этом общее число изделий должно составлять 88 единиц, т.е. x1+x2=88.
Тогда математическая модель задачи будет иметь вид:
F(X) = 11x1+x12+7x2+x22 → min
x1+x2=88,
х1>0,
х2>0.
Найдем экстремум функции F(X) = 11x1+x12+7x2+x22, используя функцию Лагранжа:
где F(X) - целевая функция вектора X
φi(X) - ограничения в неявном виде (i=1..n)
В качестве целевой функции, подлежащей оптимизации, в этой задаче выступает функция:
F(X) = 11x1+x12+7x2+x22
Перепишем ограничение задачи в неявном виде:
φ1(X) = x1+x2-88 = 0
Составим вспомогательную функцию Лагранжа:
L(X, λ) = 11x1+x12+7x2+x22 + λ(x1+x2-88)
Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным хi и неопределенному множителю λ.
Составим систему:
∂L/∂x1 = 2x1+λ+11 = 0∂L/∂x2 = 2x2+λ+7 = 0∂L/∂λ = x1+x2-88 = 0
Решив данную систему, получаем стационарную точку X0=(43; 45), λ1 = -97
Для определения типа экстремума необходимо вычислить матрицу Гессе для точки X0, либо найти значения функции в каждой из точек и выбрать экстремальное.
L(x,λ, μ) = 11x1+x12+7x2+x22-97(x1+x2-88)
f(x) = 11x1+x12+7x2+x22-97(x1+x2-88
1