Построить граф состояний и в общем виде уравнения всех характеристик заданной замкнутой СМО, далее

Построить граф состояний и в общем виде уравнения всех характеристик заданной замкнутой СМО, далее рассчитать численные значения этих характеристик. Вариант n, число станков m, число рабочих λ, час-1 Т рем, мин 13 11 4 4,5 5

Примем нумерацию состояний в виде Sijk, где i – количество отказавших станков, j – количество занятых рабочих, k – количество станков, образующих очередь на ремонт. Т.е. нумерация состояний определяется отношением i=j+k.
Представим граф состояний нашей СМО:
Составляем систему дифференциальных уравнений Колмогорова по размеченному графу: производная вероятности каждого из состояний СМО равна сумме всех потоков вероятности, входящих в данное состояние, за вычетом суммы потоков вероятности, исходящих из данного состояния (в обозначении вероятности оставим только индекс i, т.к. он однозначно определяет соответствующее состояние системы).
Получаем следующую систему дифференциальных уравнений Колмогорова по нашему графу состояний:
dP0dt=-11λP0+μP1dP1dt=11λP0-10λ+μP1+2μP2dP2dt=10λP1-9λ+2μP2+3μP3dP3dt=9λP2-8λ+3μP3+4μP4dP4dt=8λP3-7λ+4μP4+4μP5dP5dt=7λP4-6λ+4μP5+4μP6dP6dt=6λP5-5λ+4μP6+4μP7dP7dt=5λP6-4λ+4μP7+4μP8dP8dt=4λP7-3λ+4μP8+4μP9dP9dt=3λP8-2λ+4μP9+4μP10dP10dt=2λP9-λ+4μP10+4μP11dP11dt=λP10-4μP11
В стационарном режиме работы все вероятности состояния Pi=const, поэтому левые части уравнений Колмогорова обращаются в нуль

. Определяем вероятности состояний из полученной системы алгебраических уравнений, к которой добавляется нормировочное уравнение:
-11λP0+μP1=011λP0-10λ+μP1+2μP2=010λP1-9λ+2μP2+3μP3=09λP2-8λ+3μP3+4μP4=08λP3-7λ+4μP4+4μP5=07λP4-6λ+4μP5+4μP6=06λP5-5λ+4μP6+4μP7=05λP6-4λ+4μP7+4μP8=04λP7-3λ+4μP8+4μP9=03λP8-2λ+4μP9+4μP10=02λP9-λ+4μP10+4μP11=0λP10-4μP11=0P0+P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7+P8+P9+P10+P11=1
Чтобы определить в общем виде характеристики системы, выражаем последовательно состояния системы через вероятность состояния S000.
Из первого уравнения находим:
-11λP0+μP1=0 P1=11λμP0=11ρP0
Далее последовательно:
11λP0-10λ+μP1+2μP2=0 P2=11∙10∙λ22μ2P0=11∙10∙ρ22P0
10λP1-9λ+2μP2+3μP3=0 P3=11∙10∙9∙λ32∙3∙μ3P0=11∙10∙9∙ρ33!P0
9λP2-8λ+3μP3+4μP4=0 P4=11∙10∙9∙8∙λ43!∙4∙μ4P0=11∙10∙9∙8∙ρ44!P0
Со следующего состояния начинает образовываться очередь в системе:
8λP3-7λ+4μP4+4μP5=0 P5=11∙…∙7∙λ54!∙4∙μ5P0=11∙…∙7∙ρ54∙4!P0
7λP4-6λ+4μP5+4μP6=0 P6=11∙…∙6∙λ64∙4!∙4∙μ6P0=11∙…∙6∙ρ642∙4!P0
По аналогии можем записать выражения для вероятности пребывания системы в состояниях с 4 по 11 одной формулой:
Pk=i=0k-111-i4!∙4k-4ρkP0,k≥4
Подставляя в нормировочное уравнение, находим вероятность отсутствия заявок в системе (все станки работают):
P0=11+11ρ+55ρ2+165ρ3+k=411i=0k-111-i4!∙4k-4ρk
Используя вероятности пребывания системы в соответствующих состояниях, определяем среднее число свободных рабочих:
kпр=k=03(4-k)Pk=4+33ρ+110ρ2+165ρ3P0
Тогда среднее число занятых обслуживанием приборов рабочих:
kзан=4-kпр
После этого находим абсолютную пропускную способность системы:
A=μkзан
Определяем среднее число неисправных станков (через вероятности состояний):
Kcт=k=111kPk=P011ρ+110ρ2+495ρ3+k=411k∙i=0k-111-i4!∙4k-4ρk
Среднюю длину очереди можно найти как разность между средним числом неисправных станков и средним числом занятых рабочих:
Lоч=Kcт-kзан
Выполним расчет при заданных значениях:
λ=4,5час-1,tобсл=5 мин=112час
Тогда:
ρ=λμ=λtобсл=4,512=0,375
Определяем вероятность отсутствия требований в СМО (все станки работают):
P0=11+11∙0,375+55∙0,3752+165∙0,3753+k=411i=0k-111-i4!∙4k-4∙0,375k≈0,0463
Находим среднее число свободных рабочих:
kпр=4+33∙0,375+110∙0,3752+165∙0,3753∙0,0463≈1,8754
Тогда среднее число занятых рабочих:
kзан=4-1,8754=2,1246
Вычисляем абсолютную пропускную способность системы:
A=μkзан=kзанtобсл=2,12465=0,4249(мин-1)=25,4952(час-1)
Находим среднее число неисправных станков:
Kcт=P011ρ+110ρ2+495ρ3+k=411k∙i=0k-111-i4!∙4k-4ρk=
=0,0463∙11∙0,375+110∙0,3752+495∙0,3753+k=411k∙i=0k-111-i4!∙4k-40,375k≈2,1272
А средняя длина очереди на обслуживание:
Lоч=Kcт-kзан=2,1272-2,1246=0,0026
Как видим, четверо рабочих практически не допускаю образование очереди на обслуживание – отказавший станок почти немедленно начинает ремонтироваться.
Определим количество выпущенных изделий цеха за смену – 8 часов, если на изготовление одного изделия на 1 станке требуется 30 минут и все станки изготавливают однотипные изделия.
Находим среднее число работающих станков:
Kраб=n-Kcт
Тогда при известной производительности v в единицу времени одного станка можно определить среднее количество выпущенных изделий за время t по формуле:
Vпроиз=v∙t∙Kраб
В нашем случае:
- среднее число работающих станков:
Kраб=n-Kcт=11-2,1272=8,8728
- производительность:
v=6030=2 (изделия за час)
- продолжительность смены:
t=8часов
Тогда среднее количество выпущенных изделий за смену составит:
Vпроиз=2∙8∙8,8728≈141,9648