Приведите уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и постройте её. Укажите координаты вершин,

Приведите уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и постройте её. Укажите координаты вершин, фокусов. Напишите уравнение директрисы и асимптот, если они есть. Вычислите эксцентриситет кривой. 20. 8x2+6xy-26x-12y+11=0

Осуществим поворот СК xoy на угол α:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0
Btg2α-C-Atgα-B=0
A=8;B=3;C=0.
3tg2α-0-8tgα-3=0
3tg2α+8tgα-3=0
tgα=-4±16+93=-4±53=13-3.
Выбираем tgα=-3 (IV= четверть). Находим:
sinα=-310cosα=110
Формула перехода от xoy к x'oy':
* x=x'cosα-y'sinα=110x'+310y'y=x'sinα+y'cosα=-310x'+110y'
Подставим x и y из (*) в исходное уравнение
810x'2+6x'y'+9y'2+610-3x'2+x'y'-9x'y'+3y'2-26110x'+310y'-
-12-310x'+110y'+11=0
x'2108-18+x'y'1048-48+y'21072+18+x'10-26+36+y'10-78-12+11=0.
-x'2+9y'2+10x'-910y'+11=0.
Параллельный перенос осей – выделяем полные квадраты по каждой переменной:
-x'-1022+9y'-1022+104-9∙104+11=0.
-x'-1022+9y'-1022=9: 9.
-x'-10229+y'-10221=1.
x=y'-102y=x'-102
В СК xoy уравнение кривой принимает вид:
x21-y29=1-уравнение гиперболы.
Центр в точке C102;102.
Напишем уравнение связи СК xoy и xoy
x=110y+102+310x+102=y10+3x10+2y=-310y+102+110x+102=-3y10+x10-1
Координаты o в xoy:
x=2y=-1
Система xoy
Система xoy
Вершины гиперболы A1-1;0
A21;0
A12-310;-1-110
A22+310;-1+110
Фокусы F1-10;0
F210;0
F1-1;-2
F25;0
Эксцентриситет ε=ca=10
Директрисы x=±a2c=±110
D1: y=-3x+6
D2: y=-3x+4
Асимптоты y=±bax=±3x
x=2
y=-43x+53
Директрисы
x=y10+2310y=-3y10-910⟹y=x-23/1010y=-3x+6
x=y10+1710y=-3y10-1110⟹y=x-17/1010y=-3x+4
Асимптоты
x=-3x10+3x10+2=2
x=3x10+3x10+2y=-9x10+x10-1⟹x=x-2106y=-43x+53