Производится четыре независимых опыта, в каждом из которых событие A происходит с вероятностью 0,3.

Производится четыре независимых опыта, в каждом из которых событие A происходит с вероятностью 0,3. Событие B наступает с вероятностью, равной 1, если событие A произошло не менее двух раз; не может наступить, если событие A не имело места, и наступает с вероятностью 0,6, если событие A имело место один раз. Определить вероятность появления события B.

PA=0,3
Событие B – появилось событие B.
Возможны следующие предположения (гипотезы): A1 – событие A произошло не менее двух раз, A2 – событие A не имело места, A3 – событие A имело место один раз.
Вероятности гипотез будем находить по формуле Бернулли
Pnk=Cnkpkqn-k
n=4 – количество независимых опытов.
p=0,3 – вероятность наступления события A в одном опыте.
q=1-p=1-0,3=0,7 – вероятность не наступления события A в одном опыте.
Тогда вероятности гипотез:
PA1=P4k≥2=P4k=2+P4k=3+P4k=4=C42∙0,32∙0,72+C43∙0,33∙0,71+C44∙0,34∙0,70=4!2!2!∙0,0441+4!3!1!∙0,0189+4!4!0!∙0,0081=6∙0,0441+4∙0,0189+0,0081=0,3483
PA2=P4k=0=C40∙0,30∙0,74=4!0!4!∙0,2401=0,2401
PA3=P4k=1=C41∙0,31∙0,73=4!1!3!∙0,1029=4∙0,1029=0,4116
Гипотезы образуют полную группу событий:
PA1+PA2+PA3=0,3483+0,2401+0,4116=1
Условные вероятности
PA1B=1; PA2B=0;PA3B=0,6
Искомую вероятность того, что события B появилось, находим по формуле полной вероятности:
PA=PA1∙PA1B+PA2∙PA2B+PA3∙PA3B=0,3483∙1+0,2401∙0+0,4116∙0,6≈0,5953
Ответ: 0,5953.