Расчеты на растяжение-сжатие чугунных cтержней. Дано: l=300 мм; A1=A мм2; A2=0,5A мм2; P1=P=50 кН; P2=3P=3∙50=150 кН;

Расчеты на растяжение-сжатие чугунных cтержней. Дано: l=300 мм; A1=A мм2; A2=0,5A мм2; P1=P=50 кН; P2=3P=3∙50=150 кН; материал стержня-СЧ21-40; E=1,2∙105 МПа; n=2; σp=210 МПа; σсж=1000 МПа. Требуется: 1. Определить необходимые по условию прочности площади поперечных сечений стержней. 2. Определить перемещения сечений стержня (считая слева направо), относительно левой заделки.

1. Заменяем действие опор на реакции RA и RB и составляем уравнение
суммы проекций всех сил на ось X (рисунок 1, а):
∑Fx=0; RB+P1-P2+RA=0.
Чтобы найти реакции RA и RB составляем уравнения совместности деформаций. Так как концы бруса закреплены жёстко, то его общая длина не меняется: ∆l=0.
Деформация участков стержня определяется по формуле:
∆li=Ni∙liE∙Ai .
Выразим продольные усилия через реакцию RB.
Сечение 1-1.
∑Fx=0; RB-N1=0 => N1=RB.
Рисунок 1
Сечение 2-2.
∑Fx=0; RB+P1-N2=0 => N2=RB+P1.
Сечение 3-3.
∑Fx=0; RB+P1-N3=0 => N3=RB+P1.
Сечение 4-4.
∑Fx=0; RB+P1-P2-N4=0 => N4=RB+P1-P2.
Тогда деформация участков составит:
∆l1=N1∙l1E∙A1=RB∙lE∙A;
∆l2=N2∙l2E∙A2=(RB+P1)∙2lE∙0,5∙A;
∆l3=N3∙l3E∙A1=(RB+P1)∙lE∙A;
∆l4=N4∙l4E∙A1=(RB+P1-P2)∙lE∙A.
Полная деформация бруса находится:
∆l=∆l1+∆l2+∆l3+∆l4=
=RB∙lE∙A+(RB+P1)∙2lE∙0,5∙A+(RB+P1)∙lE∙A+(RB+P1-P2)∙lE∙A=0.
Умножаем обе части данного уравнения на (E∙0,5∙A) и получаем:
RB∙l∙0,5+RB+P1∙2l+RB+P1∙l∙0,5+RB+P1-P2∙l∙0,5=0;
Разделим обе части данного уравнения на (l∙0,5) и получим:
RB+RB+P1∙4+RB+P1+RB+P1-P2=0;
RB+RB∙4+P1∙4+RB+P1+RB+P1-P2=0;
(RB+RB∙4+RB+RB)+(P1∙4+P1+P1)-P2=0;
RB∙7+P1∙6-P2=0;
RB∙7=P2-P1∙6;
RB=P2-P1∙67=150-50∙67=150-3007=-1507=-21,43 кН.
Знак «–» в значении реакции говорит о том, что изначально направление реакции RB было выбрано неверно и его необходимо изменить на противоположное.
Из первого уравнения найдём значение RA:
RA=P2-P1-RB=150-50--21,43=150-50+21,43=121,43 кН.
Направление реакции RA изначально было выбрано верно и его не меняем.
Находим значения продольных сил:
N1=RB=-21,43 кН;
N2=RB+P1=-21,43+50=28,57 кН;
N3=RB+P1=-21,43+50=28,57 кН;
N4=RB+P1-P2=-21,43+50-150=-121,43 кН.
Строим эпюру продольных сил (рисунок 1, б).
2