Рассчитать вероятность безотказной работы системы с мажоритарным резервированием по принципу «два из трех». Характеристики

Рассчитать вероятность безотказной работы системы с мажоритарным резервированием по принципу «два из трех». Характеристики надежности системы: ВБР элементов Р1=Р2=Р3=0,96; ВБР мажоритарного элемента РМЭ=0,99 МЭ – мажоритарный (логический) элемент Рисунок 1 – Расчетная схема надежности системы

Надежность рассматриваемой системы РC расчитывается по формуле:
PC=P2;3·PMЭ, (1)
где P2;3- вероятность безотказной работы соединения «2 из 3»
равнонадежных элементов 1,2 и 3;
PMЭ - вероятность безотказной работы мажоритарного (логического)
элемента
Так как P1= P2 = P3 , то для определения вероятности безотказной работы соединения «2 из 3» P2из3 можно воспользоваться комбинаторным методом . Для cоединения c мажоритарным резервированием вероятность безотказной работы рассчитывается по формуле:
Pk;n = knCnkpk∙(1-p)n-k , (2)
где Cnk - биномиальный коэффициент ;
k - количество элементов, обеспечивающих работоспособность
соединения;
n – общее количество элементов соединения.
Биномиальный коэффициент определяется по формуле:
Cnk =n!k!(n-k)! , (3)
Для рассматриваемого соединения количество элементов соединения n = 3 и количество элементов, обеспечивающих его работоспособность k = 2 и 3, тогда по формуле (2) c учетом (3) :
P2;3=3!2!(3-2)!P12 (1-P1)3-2+3!3!(3-3)!P13 (1-P1)3-3=
=3P12(1-P1)+P13 = 3P12-3P13 +P13 =3P12-2P13, (4)
Подставив полученное выражение (4) в формулу (1) для определения вероятности безотказной работы всей системы, получим:
PC=P2;3·PMЭ=(3P12-2P13 )·PМЭ (5)
Для заданных значений Р1=0,96 и РМЭ=0,99
PC=(3P12-2P13 )·PМЭ =(3·0,962 -2·0,963)·0,99=0,985
Ответ:PC=0,985

. Для cоединения c мажоритарным резервированием вероятность безотказной работы рассчитывается по формуле:
Pk;n = knCnkpk∙(1-p)n-k , (2)
где Cnk - биномиальный коэффициент ;
k - количество элементов, обеспечивающих работоспособность
соединения;
n – общее количество элементов соединения.
Биномиальный коэффициент определяется по формуле:
Cnk =n!k!(n-k)! , (3)
Для рассматриваемого соединения количество элементов соединения n = 3 и количество элементов, обеспечивающих его работоспособность k = 2 и 3, тогда по формуле (2) c учетом (3) :
P2;3=3!2!(3-2)!P12 (1-P1)3-2+3!3!(3-3)!P13 (1-P1)3-3=
=3P12(1-P1)+P13 = 3P12-3P13 +P13 =3P12-2P13, (4)
Подставив полученное выражение (4) в формулу (1) для определения вероятности безотказной работы всей системы, получим:
PC=P2;3·PMЭ=(3P12-2P13 )·PМЭ (5)
Для заданных значений Р1=0,96 и РМЭ=0,99
PC=(3P12-2P13 )·PМЭ =(3·0,962 -2·0,963)·0,99=0,985
Ответ:PC=0,985