Рассматривается зависимость содержания азота в удобрении (г/л) и жизненное состояние растений (балл). Даны данные

Рассматривается зависимость содержания азота в удобрении (г/л) и жизненное состояние растений (балл). Даны данные для двух показателей Х и У. Вычислить коэффициент корреляции. Оценить статистическую значимость коэффициента корреляции. Х 10 12 11 14 16 21 18 22 25 27 25 26 У 1 3 2 4 6 3 8 9 9 11 12 10

Определим, какой из признаков является факторным (причиной), а какой результативным (следствием):
Х – количество азота в удобрении, г/л (факторный признак).
У – жизненное состояние растений, балл (результативный признак).
Первым этапом проведения корреляционного анализа является предварительная характеристика взаимосвязей. Графический метод выявления взаимосвязи двух показателей представим на рисунке 1.
Рисунок 1 – График зависимости между изучаемыми показателями
В результате построения точечного графика можно сделать следующие выводы: связь между количеством азота в удобрении и жизненным состоянием растений корреляционная, прямая, линейная, достаточно тесная.
На втором этапе проведения корреляционного анализа количественно оценим связь между признаками. Если связь прямолинейная, то используют для расчетов линейный коэффициент корреляции:
,
где .
Расчет средних показателей оформим в таблице 1.
Таблица 1
Расчетная таблица
Количество азота в удобрении, г/л
Х Жизненное состояние растений, балл
У Расчетные графы
XY X2 Y2
10 1 10 100 1
11 2 22 121 4
12 3 36 144 9
14 4 56 196 16
16 6 96 256 36
18 8 144 324 64
21 3 63 441 9
22 9 198 484 81
25 9 225 625 81
25 12 300 625 144
26 10 260 676 100
27 11 297 729 121
Всего 227 78 1707 4721 666
Среднее 18,92 6,50 142,25 393,42 55,50
; ;
бх2 = 393,42 – 18,922 =35,58; бх =.
бу2 = 55,5 – 6,52 =13,25; бу = .
Отсюда:
+ 0,889
Вывод

. Связь между количеством азота в удобрении и жизненным состоянием растений корреляционная прямая (т.к. коэффициент положительный) и очень тесная (т.к. находится в интервале 0,8-0,95).
Третий этап корреляционного анализа заключается в определении существенности (неслучайности) установленной связи. Для этого рассчитаем t – критерий Стьюдента, который показывает удельный вес фактора х при объяснении у. Для малого объема совокупности (n < 30):
Далее |tрасч| сравним с табличным значением (tтабл).
Если |tрасч| > tтабл , то связь считают существенной, неслучайной.
Если |tрасч| < tтабл, то связь считают несущественной, случайной.
Табличное значение критерия t –критерия Стьюдента при n-2=12-2=10 и Р(t) = 0,99 равно: t табл.= 3,169.
6,139 > 3,169
Следовательно, с большой степенью вероятности (Р(t) = 0,99) можно утверждать, что в генеральной совокупности действительно существует прямая сильная зависимость между количеством азота в удобрении и жизненным состоянием растений.
Регрессионный анализ
На первом этапе регрессионного анализа построим линию регрессии. Уравнение линии регрессии имеет вид прямой линии вида:
Для нахождения параметров ао и а1, воспользуемся взаимосвязью коэффициента корреляции и коэффициента регрессии:

Тогда получаем следующее уравнение регрессии:
На втором этапом регрессионного анализа интерпретируем полученные результаты: при увеличении количества азота в удобрении на 1 г/л, жизненное состояние растений увеличивается на 0,542 балла.
На третьем этапе регрессионного анализа рассмотрим применение полученного уравнения регрессии в экономических исследованиях:
а) изучим отклонения фактических значений у от теоретических.
Рассчитаем на основе построенного уравнения теоретические значения жизненного состояния растений:
х = 10 г/л, то = -3,755+0,542*10 = 1,665 балла;
х = 11 г/л, то = -3,755+0,542*10 = 2,207 балла;
х = 12 г/л, то = -3,755+0,542*12 = 2,749 балла;
х = 14 г/л, то = -3,755+0,542*14 = 3,833 балла;
х = 16 г/л, то = -3,755+0,542*16 = 4,917 балла;
х = 18 г/л, то = -3,755+0,542*18 = 6,001 баллов;
х = 21 г/л, то = -3,755+0,542*21 = 7,627 баллов;
х = 22 г/л, то = -3,755+0,542*22 = 8,169 баллов;
х = 25 г/л, то = -3,755+0,542*25 = 9,795 баллов;
х = 26 г/л, то = -3,755+0,542*26 = 10,337 баллов;
х = 27 г/л, то = -3,755+0,542*27 = 10,879 баллов.
б) составим прогноз жизненного состояния растений при заданном значении количества азота в удобрении.
Рассчитаем отклонения фактических значений У от теоретических (), отметив те значения, у которых расхождение (+ или -) значительные.
Рассчитаем величину:
где m - число параметров в уравнении регрессии (в случае линейного уравнения регрессии m = 2).
Для расчета построим таблицу 2.
Таблица 2
Расчетная таблица
Фактические значения уровня жизненного состояния растений, балл Расчетные графы
Теоретические Значения уровня жизненного состояния растений, балл

1 1,7 -0,7
0,44
2 2,2 -0,2
0,04
3 2,7 0,3
0,06
4 3,8 0,2
0,03
6 4,9 1,1 + 1,17
8 6,0 2,0 + 4,00
3 7,6 -4,6 - 21,41
9 8,2 0,8
0,69
9 9,8 -0,8
0,63
12 9,8 2,2 + 4,86
10 10,3 -0,3
0,11
11 10,9 0,1
0,01
Всего 78 78,0 0
33,47
Рассчитаем величину:
Ошибка невелика, значит рассеивание точек на корреляционном поле незначительно