Совместная плотность случайных величин X,Y имеет вид: px,y=x+y81, если 0≤x≤3,0≤y≤60,в остальных случаях Найти функцию распределения случайной

Совместная плотность случайных величин X,Y имеет вид: px,y=x+y81, если 0≤x≤3,0≤y≤60,в остальных случаях Найти функцию распределения случайной величины Z=minx,y.

Функция распределения Fz есть вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее z:
Fz=PZ<z
Определим искомую функцию распределения .
При z≤0 имеем Fz=0, а при z>6 имеем Fz=1.
Сделаем схематический рисунок при 0<z≤3:
Функция распределения равна вероятности попасть точке X,Y в квадрат со стороной z, т.е.:
Fz=0zdx0zx+y81dy=1810zxy+y220zdx=1810zxz+z22dx=
=181x2z2+xz220z=z381
Аналогично при 3<z≤6:
Функция распределения:
Fz=03dx0zx+y81dy=18103xz+z22dx=
=181x2z2+xz2203=z254+z18
Получили:
Fz=0,z≤0z381,0<z≤3z254+z18,3<z≤61,z>6

.
При z≤0 имеем Fz=0, а при z>6 имеем Fz=1.
Сделаем схематический рисунок при 0<z≤3:
Функция распределения равна вероятности попасть точке X,Y в квадрат со стороной z, т.е.:
Fz=0zdx0zx+y81dy=1810zxy+y220zdx=1810zxz+z22dx=
=181x2z2+xz220z=z381
Аналогично при 3<z≤6:
Функция распределения:
Fz=03dx0zx+y81dy=18103xz+z22dx=
=181x2z2+xz2203=z254+z18
Получили:
Fz=0,z≤0z381,0<z≤3z254+z18,3<z≤61,z>6