Таблица 8. Ток, проходящий по обмотке длинного прямого соленоида радиусом R изменяют так, что магнитное

Таблица 8. Ток, проходящий по обмотке длинного прямого соленоида радиусом R изменяют так, что магнитное поле внутри соленоида растет со временем по закону B=125·t2+50·t. Число витков соленоида на единицу длины равно n. Определить плотность тока смещения как функцию расстояния r от оси соленоида. Построить график зависимости jсм(r) Дано: B=125·t2+50·t R, n

Плотность смещения равна:
jсм=∂D∂t, где электрическое смещение D=εε0E
ε=1-диэлектрическая проницаемость среды,
ε0-электрическая постоянная
В длинном прямом соленоиде магнитное поле является однородным внутри соленоида, причем магнитная индукция направлена в любой точке параллельно оси соленоида и равна по величине
B=μμ0In, где I-ток в витках соленоида,
n-число витков на единицу длины
По условию B=125·t2+50·t
μμ0In=125·t2+50·t
I(t)=125·t2+50·tμμ0n
Для вихревого электрического поля внутри и снаружи соленоида вектор E напряженности электрического поля в любой точке направлен по касательной к концентрическим окружностям с центром на оси соленоида перпендикулярным оси, причем значение E зависит только от расстояния до оси, т.е . E=E(r)
Из уравнения Максвелла в интегральной форме имеем
LE dl =-ddtSBdS ,
где площадь сечения окружности с радиусом r равна S=πr2;
длина окружности радиусом r равна l=2πr
Е∙2πr=-μμ0I'n∙πr2
Е∙2πr=-μμ0125·t2+50·tμμ0n'n∙πr2
Е∙2πr=-250t+50∙πr2
Е=-250t+50∙πr22πr=-250t+50∙r2
Внутри соленоида r<R: Е=250t+50∙r2, D=εε0250t+50∙r2
jсм=∂D∂t=∂(εε0250t+50∙r2)∂t=εε0250∙r2=125εε0r
На поверхности соленоида r=R:
Е=250t+50∙R2, D=εε0250t+50∙R2
jсм=∂D∂t=∂(εε0250t+50∙R2)∂t=εε0250∙R2=125εε0R
Снаружи соленоида: r>R:
Е=-250t+50∙πR22πr=-250t+50∙R22r, D=εε0250t+50∙R22r
jсм=∂D∂t=∂(εε0250t+50∙R22r)∂t=εε0250∙R22r=125εε0R2r
7

. E=E(r)
Из уравнения Максвелла в интегральной форме имеем
LE dl =-ddtSBdS ,
где площадь сечения окружности с радиусом r равна S=πr2;
длина окружности радиусом r равна l=2πr
Е∙2πr=-μμ0I'n∙πr2
Е∙2πr=-μμ0125·t2+50·tμμ0n'n∙πr2
Е∙2πr=-250t+50∙πr2
Е=-250t+50∙πr22πr=-250t+50∙r2
Внутри соленоида r<R: Е=250t+50∙r2, D=εε0250t+50∙r2
jсм=∂D∂t=∂(εε0250t+50∙r2)∂t=εε0250∙r2=125εε0r
На поверхности соленоида r=R:
Е=250t+50∙R2, D=εε0250t+50∙R2
jсм=∂D∂t=∂(εε0250t+50∙R2)∂t=εε0250∙R2=125εε0R
Снаружи соленоида: r>R:
Е=-250t+50∙πR22πr=-250t+50∙R22r, D=εε0250t+50∙R22r
jсм=∂D∂t=∂(εε0250t+50∙R22r)∂t=εε0250∙R22r=125εε0R2r
7