Для двух выборок значений xi случайной величины X и значений yi случайной величины Y. 2

Для двух выборок значений xi случайной величины X и значений yi случайной величины Y (каждая объема n=15) найти: точечные несмещенные оценки неизвестных математических ожиданий и дисперсий; доверительный интервал для MX с доверительной вероятностью γ=0,95 (при неизвестной дисперсии σx2); доверительный интервал для MY с доверительной вероятностью γ=0,99 (полагая дисперсию σy2 известной и равной найденной в п. 1 ее выборочной оценке); доверительный интервал для дисперсии σx2 с доверительной вероятностью γ=0,95; доверительный интервал для дисперсии σy2 с доверительной вероятностью γ=0,90. i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 xi 14 11 9 15 10 7 10 17 14 10 13 7 9 13 13 yi 15 11 12 15 9 13 12 5 13 11 12 10 6 14 15

Точечные несмещенные оценки неизвестных математических ожиданий и дисперсий
Составим расчетную таблицу
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Сумма
xi
14 11 9 15 10 7 10 17 14 10 13 7 9 13 13 172
yi
15 11 12 15 9 13 12 5 13 11 12 10 6 14 15 173
xi2
196 121 81 225 100 49 100 289 196 100 169 49 81 169 169 2094
yi2
225 121 144 225 81 169 144 25 169 121 144 100 36 196 225 2125
n=15 – объем выборки.
Несмещенные оценки математических ожиданий
MX=x=1ni=1nxi=17215≈11,4667
MY=y=1ni=1nyi=17315≈11,5333
Смещенные оценки дисперсий
Dx=x2-x2=1ni=1nxi2-x2=209415-172152≈8,1156
Dy=y2-y2=1ni=1nyi2-y2=212515-173152≈8,6489
Несмещенные оценки дисперсий
Sx2=nn-1Dx=1514∙8,1156≈8,6953
Sy2=nn-1Dy=1514∙8,6489≈9,2667
доверительный интервал для MX с доверительной вероятностью γ=0,95 (при неизвестной дисперсии σx2)
Доверительный интервал для MX при неизвестной дисперсии имеет вид
x-tα2n-1Sxn<MX<x+tα2n-1Sxn, α=1-γ
Исправленное среднее квадратическое отклонение
Sx=Sx2=8,6953≈2,9488
По таблице распределения Стьюдента по α2=1-γ2=1-0,952=0,025 и степеням свободы n-1=15-1=14 находим
tα2n-1=t0,02514=2,14
Подставив n=15; x=11,4667; Sx=2,9488; t0,02514=2,14, получим
11,4667-2,14∙2,948815<MX<11,4667+2,14∙2,948815
Искомый доверительный интервал имеет вид
9,8374<MX<13,096
доверительный интервал для MY с доверительной вероятностью γ=0,99 (полагая дисперсию σy2 известной и равной найденной в п

. 1 ее выборочной оценке)
σy2=9,2667 – дисперсия известна.
Доверительный интервал для MY при известной дисперсии имеет вид
y-uα2σyn<MY<y+uα2σyn, α=1-γ
По таблице значений функции Лапласа по Фuα2=γ2=0,992=0,495 найдем
uα2=u0,005≈2,58
Подставив n=15; y=11,5333; σy=σy2=9,2667≈3,0441 ; u0,005=2,58, получим
11,5333-2,58∙3,044115<MY<11,5333+2,58∙3,044115
Искомый доверительный интервал имеет вид
9,5055<MY<13,5611
доверительный интервал для дисперсии σx2 с доверительной вероятностью γ=0,95
Доверительный интервал для дисперсии σx2 имеет вид
n-1∙Sx2vα2n-1<σx2<n-1∙Sx2v1-α2n-1 , α=1-γ
По таблице распределения хи-квадрат по числу степеней свободы n-1=15-1=14 находим
vα2n-1=v1-γ214=v1-0,95214=v0,02514=26,12
v1-α2n-1=v1-1-γ214=v1-1-0,95214=v0,97514=5,63
Подставив n=15; Sx2=8,6953; v0,02514=26,12 ; v0,97514=5,63, получим
15-1∙8,695326,12<σx2<15-1∙8,69535,63
Искомый доверительный интервал имеет вид
4,6606<σx2<21,6224
доверительный интервал для дисперсии σy2 с доверительной вероятностью γ=0,90.
Доверительный интервал для дисперсии σy2 имеет вид
n-1∙Sy2vα2n-1<σy2<n-1∙Sy2v1-α2n-1 , α=1-γ
По таблице распределения хи-квадрат по числу степеней свободы n-1=15-1=14 находим
vα2n-1=v1-γ214=v1-0,9214=v0,0514=23,68
v1-α2n-1=v1-1-γ214=v1-1-0,9214=v0,9514=6,57
Подставив n=15; Sy2=9,2667; v0,0514=23,68; v0,9514=6,57, получим
15-1∙9,266723,68<σy2<15-1∙9,26676,57
Искомый доверительный интервал имеет вид
5,4786<σy2<19,7464
Ответ: 1) MX≈11,4667; MY≈11,5333; Sx2≈8,6953; Sy2≈9,2667; 2) 9,8374<MX<13,096; 3) 9,5055<MY<13,5611; 4) 4,6606<σx2<21,6224; 5) 5,4786<σy2<19,7464.