Известны три компоненты вектора перемещения , , как функции декартовых координат , , : 668020444500 Числовые

Известны три компоненты вектора перемещения , , как функции декартовых координат , , : 668020444500 Числовые данные: м-1; м-1; м-1; м; МПа; ; м; м; м; м; м; м. Требуется: 1. Определить компоненты тензора деформаций и тензора напряжений в произвольной точке А. 2. Определить компоненты объёмной нагрузки , , и поверхностной , , на наклонной грани тела. 3. Записать тензор напряжений , шаровой тензор и девиатор напряжений . 4. Определить инварианты тензора напряжений , , в точке A . 4. Определить главные напряжения , , и наибольшее касательное напряжение в точке A . 5. Определить погрешность вычисления инвариантов тензора напряжений.

1. Определение компонент тензоров деформаций и напряжений.
По уравнениям Коши определяем компоненты тензора деформаций в произвольной точке тела с координатами , , :
Определяем относительную объемную деформацию в произвольной точке тела:
Для определения компонент тензора напряжений вычисляем упругие постоянные материала
МПа;
МПа.
Находим шесть функций напряжений в произвольной точке тела с координатами , , :
МПа;
МПа;
МПа;
МПа;
;
МПа.
Согласно закону парности касательных напряжений :
; ;
2. Определение компонент объёмной и поверхностной нагрузки.
Находим значения первых производных от функций напряжений:

МПа∙м-1
МПа∙м-1
МПа∙м-1; МПа∙м-1;
; ;
;
Запишем уравнения равновесия Навье
из решения определяем компоненты объёмных сил:
МПа∙м-1
МПа∙м-1
МПа∙м-1
Далее подставляем найденные функции напряжений в условия на поверхности и получаем выражения для определения компонент поверхностной нагрузки , , :
Определим направляющие косинусы , , нормали к наклонной грани тела. Для определения величин и найдем отрезки A и C, отсекаемые плоскостью грани на координатных осях х и z, соответственно

. Так как плоскость грани параллельна оси у, то, как известно из аналитической геометрии, её уравнение в отрезках запишется следующим образом:
-45085191770
Рассмотрим проекцию тела на координатную плоскость xOz. Очевидно, что расстояние A равно размеру ,
т.е. м.
Расстояние C определяется из подобия треугольников:
.
Отсюда находим м.
Согласно рисунку, находим значения направляющих косинусов:
Вследствие того, что плоскость наклонной грани тела параллельна оси у, угол между нормалью v и осью у равен 90°.
Подставляем значения направляющих косинусов l, m, n в полученные выше выражения для компонент поверхностной нагрузки:
3. Определение деформаций и напряжений в заданной точке тела. Тензор напряжений, шаровой тензор и девиатор напряжений в этой точке
Заданные координаты , , точки А подставляем в выражения для компонент тензоров деформаций и напряжений, полученные выше, и вычисляем эти функции:
МПа
МПа
МПа
МПа

МПа
Находим среднее нормальное напряжение и относительную объёмную деформацию в точке А :
МПа
Записываем тензор напряжений, шаровой тензор напряжений и девиатор напряжений в точке А, соответственно:
4