Компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом автомобилей и стоимостью ежемесячного обслуживания: Пробег, тыс.

Компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом автомобилей и стоимостью ежемесячного обслуживания: Пробег, тыс. км 8 11 31 15 27 30 13 17 21 23 35 9 Стоимость обслуживания, у.е. 15 17 26 20 24 25 18 21 24 20 30 12 К заданию 5) X*=25. Задание. 1).Постройте поле корреляции результативного и факторного признаков. 2).Определите параметры уравнения парной линейной регрессии и дайте интерпретацию коэффициента регрессии β. 3).Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и поясните егосмысл. Определите коэффициент детерминации и дайте его интерпретацию. 4).С вероятностью 0,95 оцените статистическую значимость коэффициента регрессии β и уравнения регрессии в целом. Сделайте выводы. 5).Рассчитайте прогнозное значение Ŷ* для заданного X* = 22 и постройте 95% доверительный интервал для прогноза.

1). Для условия задачи поле корреляции выглядит следующим образом:
Между стоимостью обслуживания (Y) и пробегом автомобиля (X) визуально определяется прямая линейная зависимость.
2). Определим параметры уравнения парной линейной регрессии. Вычисления удобно организовать в таблицу. При этом сначала рассчитываются средние значения и по данным столбцов 2 и 3. Затем в столбцах 4 и 5 рассчитываются , , i = 1, .... n, и в столбце 8 их произведение.

1 8 15 -12 -6 144 36 72 14,78 0,22 0,05
2 11 17 -9 -4 81 16 36 16,34 0,66 0,44
3 31 26 11 5 121 25 55 26,70 -0,70 0,49
4 15 20 -5 -1 25 1 5 18,41 1,59 2,53
5 27 24 7 3 49 9 21 24,63 -0,63 0,39
6 30 25 10 4 100 16 40 26,18 -1,18 1,40
7 13 18 -7 -3 49 9 21 17,37 0,63 0,39
8 17 21 -3 0 9 0 0 19,45 1,55 2,42
9 21 24 1 3 1 9 3 21,52 2,48 6,16
10 23 20 3 -1 9 1 -3 22,55 -2,55 6,53
11 35 30 15 9 225 81 135 28,77 1,23 1,51
12 9 12 -11 -9 121 81 99 15,30 -3,30 10,89
Итого 240 252 0 0,00 934 284 484 252,00 0,00 33,19
Среднее значение 20 21
По формуле (1) получим: β = 484/934 = 0,518

. По формуле (2) получим: α =21 – 0,518 ·20= 10,636.
Оцененное уравнение регрессии запишется в виде Y = 10,636 + 0,518∙X.
Интерпретация коэффициента регрессии. С увеличением пробега автомобиля на 1 тыс. км. стоимость обслуживания возрастает на 0,52 у.е.
3).Расчет линейного коэффициента корреляции проведем по формуле (3).С учетом вычислений в столбцах 6, 7 и 8 таблицы, получим:
.
Т.е. связь между изучаемыми переменными прямая (коэффициент корреляции положительный) линейная.
Определим коэффициент детерминации . Т.е. 88,3% вариации стоимости обслуживания объясняется вариацией пробега автомобиля.
4).Оценим статистическую значимость коэффициента регрессии β.
Рассчитаем дисперсию ошибки регрессии по формуле (6) с учетом столбца 10 таблицы: σu2=33,19/( 12-2) = 3,319.
Рассчитаем стандартную ошибку коэффициента регрессии по формуле (5): .
Тогда по формуле (4) фактическое значение t – статистики составит
t = 0,518/0,0596 = 8,69.
По таблице находим для уровня значимости по условию 1 – 0,95 = 0,05 и числа степеней свободы 10: t 0,05;10=2,228