Медный шарик диаметра d = 1,2 см поместили в откачанный сосуд, температура стенок которого

Медный шарик диаметра d = 1,2 см поместили в откачанный сосуд, температура стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю. Начальная температура шарика Т0 = 300 К. Считая поверхность шарика абсолютно черной, найти, через сколько времени его температура уменьшится в η = 2,0 раза. Дано: d = 1,2 см = 0,012 м T0 = 300 К η = 2 Внутренняя энергия медного шарика определяется выражением U=mcT=ρ⋅16πd3cT (1) где m ― масса шарика; ρ = 8900кг/м3 ― плотность меди; и с = 395 Дж/(кг∙К) ― удельная теплоемкость меди; d ― диаметр шарика; Т ― его термодинамическая температура. Энергия, излучаемая шариком в единицу времени, равна Найти: t ― ?

DWdt=P=πd2Re
где Re ― энергетическая светимость шарика; Поскольку по условию задачи шарик рассматривается как абсолютно черное тело, светимость Re вычисляем по формуле Стефана-Больцмана, т. е.
Re=σT4, (2)
где σ ― постоянная Стефана-Больцмана.
Тогда
P=πσd2T4
Учитывая, что изменение внутренней энергии шарика dil за время dt должно равняться энергии излучения за то же время с обратным знаком -dW, с помощью формул (1), (2) находим
dU=ρ⋅16πd3c⋅dT
dW=Pdt=πσd2T4dt
dU=-dW
ρ⋅16πd3c⋅dT=-πσd2T4dt
dTT4=-6σρcddt
Интегрируя это уравнение с учетом начального условия (Т = Т0 при t=0), получаем
Т0ТdTT4=0t-6σρcddt
131T3-1T03=6σρcdt (3)
где Т ― термодинамическая температура шарика в момент времени t