Освоить и закрепить практические навыки по использованию моделей систем массового обслуживания. Офисный ксерокс используют 5 служащих.

Освоить и закрепить практические навыки по использованию моделей систем массового обслуживания. Офисный ксерокс используют 5 служащих. Среднее время между двумя моментами его использования для каждого из служащих равно 40 мин. В среднем служащий занимает ксерокс на 5 мин. Используя модель М/М/1 с ограниченным множеством требований, определите:   вероятность того, что ксерокс простаивает;   среднее число служащих в очереди;   среднее число служащих в комнате, где стоит ксерокс;   среднее время ожидания;   среднее время нахождения в комнате с ксероксом. Сколько времени за восьмичасовой рабочий день тратит служащий на данную операцию? Стоит ли компании приобретать второй ксерокс? Ответ обосновать.

Имеем одноканальную модель (n=1) замкнутого типа с m = 5 источниками заявок.
Интенсивность потока заявок (40 минут = 2/3 часа):
λ=12/3=1.5 заявки в час
Интенсивность обслуживания (5 минут = 1/12 часа):
μ=12 заявок в час
Коэффициент загрузки
ρ=λμ=1.512=18
Коэффициент загрузки на один канал:
χ=ρn=18
Вероятность того, что ксерокс простаивает:
p0=1+k=1nCmkρk+m!n!ρnr=1m-nχrm-n-r!-1=1+5∙18+5!∙18∙r=1418r4-r!-1=
=1+58+1208∙16∙18+12∙164+1512+14096-1≈0.47901.
Cmk=m!k!m-k!- биномиальный коэффициент
Среднее число служащих в очереди (средняя длина очереди):
pk=Cmkρkp0, k=1,n
p1=5∙ρ∙p0≈0.29938
Lоч=m!n!ρnp0r=1m-nχrrm-n-r!=120∙18∙0.47901r=1418rr4-r!=
=1208∙0.47901∙16∙18+22∙164+3512+44096≈0.3111
Среднее число служащих в комнате, где стоит ксерокс (среднее число требований в СМО):
LСМО=k=1mkpk=p0k=1nkCmkρk+m!n!ρnr=1m-nχrn+rm-n-r!=
=0.4790158+1208r=1418r(r+1)4-r!≈0.8321
Среднее время нахождения в комнате с ксероксом время ожидания плюс время обслуживания):
Λ=m-LСМОλ=5-0.8321∙1.5=6.252 заявок в час
tСМО=LСМОΛ=0.83216.252=0.1331 (7.99 минут)
Λ- средняя интенсивность среднего суммарного входящего потока заявок.
Среднее время ожидания:
tоч=tСМО-tобсл=tСМО-1μ=7.99-5=4.99 минут.
За восьмичасовой рабочий день служащий обратится к ксероксу примерно 8Λm раз, значит за день он потратит на данную операцию:
T=8Λm∙tСМО=8∙6.2525 ∙0.1331=1.33 часа.
Установим второй ксерокс, тогда имеем двуканальную СМО (n=2) замкнутого типа с m = 5 источниками заявок