Рис.1. Исходные данные для расчёта. Анализ линейных электрических цепей постоянного тока с помощью законов Кирхгофа. Исходные

Рис.1. Исходные данные для расчёта. Анализ линейных электрических цепей постоянного тока с помощью законов Кирхгофа. Исходные данные для расчёта. Конфигурация электрической цепи, представленная в виде схемы (рис.1); параметры источников электрической энергии: источники ЭДС Е1=11 В; Е2=25 В; Е3=46 В; источники тока J1=0,4 А. параметры пассивных элементов электрической цепи (значения активных сопротивлений R1 – R8): R1=10 Ом; R2=22 Ом; R3=45 Ом; R4=33 Ом; R5=15 Ом; R6=34 Ом; R7=22 Ом; R8=32 Ом; В ходе анализа процессов в электрической цепи (рис.1) необходимо выполнить: определить значения токов, протекающих через каждый элемент рассматриваемой схемы; выполнить проверку полученных значений токов используя баланс мощностей.

Рассмотрим схему представленную на рис.1 и определим количество ветвей присутствующих в схеме, при этом произвольно обозначаем направления протекающих в ветвях токов. В рассматриваемой схеме присутствует 8 ветвей, в каждой из которых протекает собственный ток. Вводим обозначения для токов протекающих в ветвях рассматриваемой схемы I1, I2, I3, … I8. Ток I4 соответствует току в ветви, содержащей источник тока J1. Таким образом значение тока I4 может считаться известным и равным значению J1:
I4=J1 = 0.4 (А) (1)
Остальные значения токов I1 – I8 (кроме I4) в ветвях схемы (рис.1) рассматриваем как неизвестные. Для определения значений токов необходимо составить систему из 7-ми линейных уравнений, используя законы Кирхгофа [1, стр. 32]. По первому закону Кирхгофа необходимо составить (n-1) уравнение, где n – количество узлов. В рассматриваемой схеме содержится 5 узлов (узлы на схеме обозначены цифрами от 1 до 5), таким образом значение n в данном случае равно 5. Следовательно, по первому закону Кирхгофа составляем уравнения для любых 4-х узлов рассматриваемой схемы.
Рис.2. Преобразованная схема.
Для 1-го узла уравнение по первому закону Кирхгофа запишется как:
I1-I2-I6=-J1. (2)
Для 2-го узла:
-I1+I2-I3=0. (3)
Для 3-го узла:
I3-I5=J1 (4)
Для 4-го узла:
I6+I7+I8=0 (5)
Четыре уравнения (2)-(5) составлены по первому закону Кирхгофа. Оставшиеся три уравнения из 7-ми необходимых следует записать по второму закону Кирхгофа предварительно выделив в рассматриваемой схеме (рис.1) четыре независимых контура. При этом в схеме следует выделять контуры, не содержащие источники тока. Для дальнейшего более детального анализа, не изменяя конфигурации схемы представленной на рис. 1 её следует преобразовать следующим образом (рис.2). В последней схеме выделяются три независимых контура без источников тока, обозначенных соответственно I-III. Направление обхода контуров определяем произвольно. Для контура I уравнение записанное по второму закону Кирхгофа будет иметь вид:
E1-E2+E3=UR1+UR2+UR0+UR0+UR3+UR0 (6)
Падения напряжения на элементах, входящих в данный контур и содержащиеся в правой части уравнения (6) преобразуем используя закон Ома через величину токов, протекающих через соответствующие элементы. Тогда уравнение (6) запишется следующим образом:
I2R1+R2+R0+R0+I1(R0+R3)=E1-E2+E3 (7)
Для контура II уравнение записанное по второму закону Кирхгофа будет иметь следующий вид:
I1R3+R0-I3R4-I5R5+I6R6-I7R7=E1 (8)
Для контура III:
I7R7-I8R8=0 (9)
Вводим следующие обозначения:
Ra=R3+R0Rb=R1+R2+R0+R0Rc=R4Rd=R5Re=R6Rf=R7Rg=R8 (10)
После чего, используя уравнения (7) – (10) формируем систему линейных уравнений, которую можно рассматривать как математическую модель процессов преобразования энергии в электрической цепи, представленной в виде схемы на рис

. 2:
I1-I2-I6=-J1-I1+I2-I3=0I3-I5=J1I6+I7+I8=0 I1Ra+I2Rb=E1-E2+E3 I1Ra-I3Rc-I5Rd+I6Re-I7Rf=E1 I7Rf-I8Rg=0 (11)
Полученную систему уравнений следует решить относительно неизвестных токов I1 – I7. Для этих целей систему уравнений (11) предварительно следует преобразовать к матричной форме записи:
1∙I1-1∙I2+0∙I3+0∙I5+0∙I6-1∙I7+0∙I8=-0.4-1∙I1+1∙I2-1∙I3+0∙I5+0∙I6+0∙I7+0∙I8=00∙I1+0∙I2+1∙I3-1∙I5+0∙I6+0∙I7+0∙I8=J10∙I1+0∙I2+0∙I3+0∙I5+1∙I6+1∙I7+1∙I8=0 12Ra∙I1+Rb∙I2+0∙I3+0∙I5+0∙I6+0∙I7+0∙I8=E1-E2+E3Ra∙I1+0∙I2-Rc∙I3-Rd∙I5+Re∙I6-Rf∙I7+0∙I8=E1 0∙I1+0∙I2+0∙I3+0∙I5+0∙I6+Rf∙I7+Rg∙I8=0
1 -1 0 0 0 -1 0
-1 1 -1 0 0 0 0
0 0 1 -1 0 0 0
0 0 0 0 1 1 1
Ra
Rb
0
0 0 0 0
Ra
0
-Rc
-Rd
Re
-Rf
0
0
0 0 0
0
Rf
Rg
×I1I2I3I5I6I7I8=-J10J10E1-E2+E3E10 (12)
Вводим следующие обозначения в системе уравнений, записанной в матричной форме (15):
матрица системы или матрица коэффициентов при неизвестных R:
1 -1 0 0 0 -1 0
-1 1 -1 0 0 0 0
0 0 1 -1 0 0 0
R=
0 0 0 0 1 1 1
Ra
Rb
0
0 0 0 0
Ra
0
-Rc
-Rd
Re
-Rf
0
0
0 0 0
0
Rf
Rg

(13)
матрица-столбец неизвестных переменных I, в качестве которых в данном случае рассматриваются токи I1 – I8:
I=I1I2I3I5I6I7I8 (14)
матрица-столбец свободных членов Е:
E=-J10J10E1-E2+E3E10 (15)
Учитывая обозначения (13)-(15) систему уравнений (12) можно записать в следующем виде:
RI=E (16)
Полученная система уравнений (12) может быть решена относительно токов одним из известных методов решения системы алгебраических линейных уравнений (методом Крамера, методом Гаусса, с использованием обратной матрицы и т.п.). В данной работе для решения системы уравнений (12) используется метод Крамера. Согласно данному методу каждый из неизвестных токов, входящих в матрицу столбец I (14) будет определяться следующим образом:
I1=∆1∆I2=∆2∆I3=∆3∆ ⋮I8=∆8∆ (17)
или:
Ik=∆k∆k=1,…,8 (18)
В последнем выражении: ∆ – определитель матрицы системы R; ∆k, k=1,…, 7 – определители матриц, получаемых на основании матрицы системы R путём замены k-го столбца в матрице системы R на матрицу-столбец свободных членов Е