Рис.1. Условие задачи R1=2 Ом R2=3 Ом R3=10 Ом R4=2 Ом R5=3 Ом J1=5 A L1=1 мГн=10-3 Гн C1=200 мкФ=2∙10-4 Ф. 1. Заменить

Рис.1. Условие задачи R1=2 Ом R2=3 Ом R3=10 Ом R4=2 Ом R5=3 Ом J1=5 A L1=1 мГн=10-3 Гн C1=200 мкФ=2∙10-4 Ф. 1. Заменить источник тока источником ЭДС. 2. Рассчитать UC(t) и iC(t) классическим методом. 3. Рассчитать UC(t) и iC(t) операторным методом.

E0=J1R4=5∙2=10В.
2. Классический метод заключается в определении значений токов через индуктивные элементы iL(0–) и напряжений на емкостных элементах uC(0–) в электрической цепи до коммутации (t<0). Статический режим до коммутации рассчитывают при соответствующем состоянии ключа (разомкнутом), индуктивные элементы в цепи заменяются перемычками, а емкостные - разрывами между точками их подключения (Рис. 2).
Рис. 2. Схема, соответствующая состоянию 0-
-22860825500
Найдем независимые начальные условия:
iL0–=E0R1+R2+R4+R5=102+3+2+3=1А.
uC0–=iL0–∙R1+R2=1∙5=5 В.
В режиме непосредственно после коммутации (t=0+) индуктивные элементы цепи нужно заменить источниками тока со значениями JL=iL0–=1А, а емкостные элементы – источниками ЭДС со значениями EC=-uC0–=-5 В, в соответствии с законами коммутации.
Схема, полученная непосредственно после коммутации показана на Рис. 3 (сопротивления R1 и R2 закорочены).
Рис. 3. Схема, соответствующая состоянию 0+
left5207000
i0+=E-ECR4+R5=10-52+3=1 А;
iC0+=ECR3=510=0,5 А;
iL0+=i0+-iC0+=1-0,5=0,5 А.
Рис. 5. Схема, соответствующая установившемуся состоянию после коммутации t=∞
-76200952500
i∞=ER4+R5=102+3=5А;
UC∞=E=10В.
Составим характеристическое уравнение (характеристическое уравнение составляется для цепи после коммутации) по методу входного сопротивления: запишем входное сопротивление цепи на переменном токе; jw заменим на оператор p; полученное выражение приравнивается к нулю:
Z=R4+R5+jωL1R3+1jωC1jωL1+R3+1jωC1⇒Zp=R4+R5+pL1R3+1pC1pL1+R3+1pC1=0.
pL1R4+R3R4+R4pC1+pL1R5+R3R5+R5pC1+pL1R3+pL1pC1pL1+R3+1pC1=0⇒
p2C1L1R3+R4+R5+pC1R3R4+C1R3R5+L1+R4+R5pC1pL1+R3+1pC1=0.
Приравняем к нулю числитель:
p2C1L1R3+R4+R5+pC1R3R4+C1R3R5+L1+R4+R5=0
И подставим в уравнение числовые значения:
3∙10-6p2+p2∙10-4∙10∙2+2∙10-4∙10∙3+10-3+5=0⇒
3∙10-6p2+11∙10-3p+5=0
Определим корни характеристического уравнения:D=121∙10-6-4∙3∙5∙10-6=61∙10-6;
p1=-11∙10-3-61∙10-32∙3∙10-6≈-3135,04 c-1;
p2=-11∙10-3+61∙10-32∙3∙10-6≈-531,63 c-1.
Корни характеристического уравнения вещественные и различные

. Тогда мгновенные значения напряжения на емкостном элементе в общем виде:
UCt=UC∞+A1e-3135,04 t+A2e-531,63tВ.
Значение тока:
iCt=C1dUCtdt=-2∙10-4∙3135,04A1e-3135,04 t+531,63A2e-531,63tА.
Для определения постоянных интегрирования A1, A2 запишем напряжение UCt и iCt в момент t=0+:
UC0+=10+A1+A2=5⇒A1+A2=-5.
iC0+=-2∙10-4∙3135,04A1+531,63A2=0,5⇒
3,1A1+5,3A2=-2,5.
Решим полученную систему:
A1+A2=-53,1A1+5,3A2=-2,5⇒A1=-5-A2-15,5-3,1A2+5,3A2=-2,5⇒A1=-10,91A2=5,91.
Подставим найденные значения A1, A2 в выражение для UCt и iCt:
UCt=10-10,91e-3135,04 t+5,91e-531,63tВ.
iCt=-2∙10-4∙-3420,3e-3135,04 t+3141,9e-531,63t=
=0,648e-3135,04 t-0,642e-531,63tА.
Ответ