Рис.1. Исходные данные для расчёта. Анализ линейных электрических цепей постоянного тока с помощью законов Кирхгофа. Исходные. 2

Рис.1. Исходные данные для расчёта. Анализ линейных электрических цепей постоянного тока с помощью законов Кирхгофа. Исходные данные для расчёта. Конфигурация электрической цепи, представленная в виде схемы (рис.1); параметры источников электрической энергии: источники ЭДС Е1=14 В; Е2=25 В; Е3=46 В; источники тока J1=0,3 А. параметры пассивных элементов электрической цепи (значения активных сопротивлений R1 – R8): R1=10 Ом; R2=26 Ом; R3=45 Ом; R4=358 Ом; R5=15 Ом; R6=34 Ом; R7=21 Ом; R8=30 Ом; В ходе анализа процессов в электрической цепи (рис.1) необходимо выполнить: определить значения токов, протекающих через каждый элемент рассматриваемой схемы; выполнить проверку полученных значений токов используя баланс мощностей.

Рассмотрим схему представленную на рис.1 и определим количество ветвей присутствующих в схеме, при этом произвольно обозначаем направления протекающих в ветвях токов. В рассматриваемой схеме присутствует 8 ветвей, в каждой из которых протекает собственный ток. Вводим обозначения для токов протекающих в ветвях рассматриваемой схемы I1, I2, I3, … I8. Ток I8 соответствует току в ветви, содержащей источник тока J1. Таким образом значение тока I8 может считаться известным и равным значению J1:
I5=I6=J1=0.3 (А) . (1)
Остальные значения токов I1 – I7 в ветвях схемы (рис.1) рассматриваем как неизвестные. Для определения значений токов I1 – I7 необходимо составить систему из 7-ми линейных уравнений, используя законы Кирхгофа [1, стр. 32]. По первому закону Кирхгофа необходимо составить (n-1) уравнение, где n – количество узлов. В рассматриваемой схеме содержится 5 узлов (узлы на схеме обозначены цифрами от 1 до 5), таким образом значение n в данном случае равно 5. Следовательно, по первому закону Кирхгофа составляем уравнения для любых 4-х узлов рассматриваемой схемы.
Рис.2. Преобразованная схема.
Для 1-го узла уравнение по первому закону Кирхгофа запишется как:
-I1+I2-I3=0. (2)
Для 2-го узла:
-I2+I3-I4=J1. (3)
Для 3-го узла:
I1+I4=-J1 (4)
Для 4-го узла:
-I7-I8=-J1 (5)
Четыре уравнения (2)-(5) составлены по первому закону Кирхгофа. Оставшиеся три уравнения из 7-ми необходимых следует записать по второму закону Кирхгофа предварительно выделив в рассматриваемой схеме (рис.1) четыре независимых контура. При этом в схеме следует выделять контуры, не содержащие источники тока. Для дальнейшего более детального анализа, не изменяя конфигурации схемы представленной на рис. 1 её следует преобразовать следующим образом (рис.2). В последней схеме выделяются три независимых контура без источников тока, обозначенных соответственно I-III. Направление обхода контуров определяем произвольно. Для контура I уравнение записанное по второму закону Кирхгофа будет иметь вид:
E1+E2=UR2+UR4 (6)
Падения напряжения на элементах, входящих в данный контур и содержащиеся в правой части уравнения (6) преобразуем используя закон Ома через величину токов, протекающих через соответствующие элементы. Тогда уравнение (6) запишется следующим образом:
I2R3-I4R8=E1+E2 (7)
Для контура II уравнение записанное по второму закону Кирхгофа будет иметь следующий вид:
I2R3+I3R1+R4+R0=E3 (9)
Для контура III:
I7R5+R7-I8R2=0 (10)
Вводим следующие обозначения:
R11=0R12=R3R13=R1+R0+R4+R0R14=R8R15=R6R17=R5+R7R18=R2 (11)
После чего, используя уравнения (7) – (11) формируем систему линейных уравнений, которую можно рассматривать как математическую модель процессов преобразования энергии в электрической цепи, представленной в виде схемы на рис

. 2:
-I1+I2-I3=0-I2+I3-I4=J1I1+I4=-J1-I7-I8=-J1 I2R12-I4R18=E1+E2 I2R12+I3R13=E3I7R17-I8R18=0 (13)
Полученную систему уравнений следует решить относительно неизвестных токов I1 – I7. Для этих целей систему уравнений (13) предварительно следует преобразовать к матричной форме записи:
-1I1+1∙I2-1∙I3+0∙I4+0∙I5+0∙I7+0∙I8=00∙I1-1∙I2+1∙I3-1∙I4+0∙I5+0∙I7+0∙I8=J11∙I1+0∙I2+0∙I3+1∙I4+0∙I5+0∙I7+0∙I8=-J10∙I1+0∙I2+0∙I3+0∙I4+0∙I5-1∙I7-1∙I8=-J1 14 0∙ I1+R12I2+0∙I3-R18∙I4+0∙I5+0∙I7+0∙I8=E1+E20∙I1+R12∙ I2+R13I3+0I4+0∙I5+0∙I7+0∙I8=E3 0∙I1+0∙I2+0∙I3+0∙I4+0I5+R17I7-R18∙I8=E1
-1 1 -1 0 0 0 0
0 -1 1 -1 0 0 0
0 0 0 0 0 -1 -1
-1 0 0 0 0 1 0
0 R12
0 -R18
0 0 0
0 R12
R13
0 0 0 0
0 0 0 0
0
R17
R18
×I1I2I3I4I5I7I8=0J1-J1-J1E1+E2E30 (15)
Вводим следующие обозначения в системе уравнений, записанной в матричной форме (15):
матрица системы или матрица коэффициентов при неизвестных R:
-1 1 -1 0 0 0 0
0 -1 1 -1 0 0 0
0 0 0 0 0 -1 -1
R=
-1 0 0 0 0 1 0
0 R12
0 -R18
0 0 0
0 R12
R13
0 0 0 0
0 0 0 0
0
R17
R18

(16)
матрица-столбец неизвестных переменных I, в качестве которых в данном случае рассматриваются токи I1 – I8:
I=I1I2I3I4I5I7I8 (17)
матрица-столбец свободных членов Е:
E=0J1-J1-J1E1+E2E30 (18)
Учитывая обозначения (16)-(18) систему уравнений (15) можно записать в следующем виде:
RI=E (19)
Полученная система уравнений (19) может быть решена относительно токов одним из известных методов решения системы алгебраических линейных уравнений (методом Крамера, методом Гаусса, с использованием обратной матрицы и т.п.). В данной работе для решения системы уравнений (19) используется метод Крамера. Согласно данному методу каждый из неизвестных токов, входящих в матрицу столбец I (17) будет определяться следующим образом:
I1=∆1∆I2=∆2∆I3=∆3∆ ⋮I8=∆8∆ (20)
или:
Ik=∆k∆k=1,…,8 (21)
В последнем выражении: ∆ – определитель матрицы системы R; ∆k, k=1,…, 7 – определители матриц, получаемых на основании матрицы системы R путём замены k-го столбца в матрице системы R на матрицу-столбец свободных членов Е