С целью изучения дневной выработки ткачих комбината по схеме собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано

С целью изучения дневной выработки ткачих комбината по схеме собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 100 ткачих из 2000. Их распределение по дневной выработке дано в таблице: Дневная выработка, м 55-65 65-75 75-85 85-95 95-105 Итого Число ткачих 3 20 40 29 8 100 а) Найти границы, в которых с вероятностью 0,9882 заключена средняя дневная выработка ткачих комбината. б) Каким должен быть объем выборки, что бы границы, найденные в пункте а) гарантировать с вероятностью 0,9942? в) Найти вероятность того, что выборочная доля ткачих, вырабатывающих в день не менее 85 м, отклоняется от доли таких ткачих всего комбината не более чем на 0,05 (по абсолютной величине).

Вычислим сначала числовые характеристики выборки. Построим соответствующий простой вариационный ряд, выбрав в качестве вариант середины интервалов:
xi
60 70 80 90 100 Итого
ni
3 20 40 29 8 100
Найдем среднее:
x=1nxi*ni=8190100=81.9
Найдем исправленную дисперсию:
S2=1n-1xi-x2*ni=893999≈90.29
Найдем исправленное среднеквадратичное отклонение:
S=90.29≈9.502
Расчеты в таблице ниже:
xi
60 70 80 90 100 Итого
ni
3 20 40 29 8 100
xi*ni
180 1400 3200 2610 800 8190
xi-x2*ni
1438,8 2832,2 144,4 1902,7 2620,9 8939
а) Найдем границы, в которых с вероятностью 0,9882 заключена средняя дневная выработка ткачих комбината.
Используем формулу:
x-∆x<m<x+∆x
где ∆x- предельная ошибка выборки
∆x=t*μx=t*S2n*1-nN
Здесь доверительный коэффициент t определяется по значению вероятности,
t=Ф-1γ2=Ф-10.98822=Ф-10.4941=2.52
Подставляем и получаем:
∆x=2.52*90.29100*1-1002000≈2.3339
Тогда искомый интервал:
81.9-2.3339<m<81.9+2.3339
79.5661<m<84.2339
б) Найдем объем выборки, что бы границы, найденные в пункте а) гарантировать с вероятностью 0,9942.
То есть найдем объем выборки n, который гарантирует такую же предельную ошибку для среднего ∆x=2.3339
Используем формулу:
n=t2*S2*N∆x2*N+t2*S2
Вычислим:
t=Ф-1γ2=Ф-10.99422=Ф-10.4971=2.76
Получаем:
n=2.762*90.29*20002.33392*2000+2.762*90.29≈119
в) Найдем вероятность того, что выборочная доля ткачих, вырабатывающих в день не менее 85 м, отклоняется от доли таких ткачих всего комбината не более чем на 0,05 (по абсолютной величине).
Выборочная доля ткачих, вырабатывающих в день не менее 85 м, равна
w=29+8100=0.37
Предельная ошибка для доли:
∆W=t*w1-wn*1-nN
Получаем:
∆W=t*0.37*1-0.37100*1-1002000≤0.05
0.05t≤0.05
t≤0.050.05
t≤1
γ≤2Ф1=2*0.3413=0.6826
Вероятность 0,6826