Системы массового обслуживания АТС имеет 4 линии связи. Поток вызовов является простейшим с интенсивностью λ

Системы массового обслуживания АТС имеет 4 линии связи. Поток вызовов является простейшим с интенсивностью λ вызовов в минуту. Время переговоров распределено по показательному закону, среднее время составляет t мин. Информация об исходных данных приведена в таблице. 1. Описать состояния СМО, построить граф состояний. 2. Найти предельные вероятности состояний системы. Найти показатели эффективности работы АТС, проанализировать эти показатели. 3. Изучить зависимость среднего числа занятых каналов и абсолютной пропускной способности АТС от интенсивности входного потока, зависимости представить в виде таблиц и графиков. 4. Определить, сколько линий должна иметь АТС, чтобы вероятность отказа не превышала 0,01. 5. Содержание каждого канала в месяц обходится в 10 тысяч усл. ед. Каждая обслуженная заявка приносит доход в 1,5 усл. ед. Определить рентабельность АТС. Найти оптимальное число каналов, при котором прибыль АТС будет максимальным (или дефицит минимальным).

1)Обозначим S0, S1, S2, S3, S4 – состояния СМО:
S0 – в системе все каналы свободны;
S1 – один канал занят, 3 − свободны;
S2 – два канала заняты, 2 − свободны;
S3 – три канала заняты, 1 − свободен;
S4 - все четыре канала заняты.
Следующая заявка, поступившая в СМО, получает отказ.
Граф системы массового обслуживания имеет вид:
2) Из условия задачи известно
интенсивность потока вызовов (поток заявок) λ=0,8 мин
среднее время обслуживания tобсл=2,2 мин
Тогда параметры системы:
Интенсивность потока обслуживания: 
Интенсивность нагрузки:ρ = λ*tобс = 0.8*2.2 = 1.76 Интенсивность нагрузки ρ=1.76 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов):
Следовательно, 17.8% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно
tпр = 10.7 мин. 
Вероятность того, что обслуживанием: занят 1 канал: p1 = ρ1/1! p0 = 1.761/1!*0.178 = 0.313 заняты 2 канала: p2 = ρ2/2! p0 = 1.762/2!*0.178 = 0.276 заняты 3 канала: p3 = ρ3/3! p0 = 1.763/3!*0.178 = 0.162 заняты 4 канала: p4 = ρ4/4! p0 = 1.764/4!*0.178 = 0.0712 Вероятность отказа (вероятность того, что канал занят) (доля заявок, получивших отказ): Значит, 7% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию. 
Вероятность обслуживания поступившей заявки: Q = pобс. pобс = 1 - pотк = 1 - 0.0712 = 0.929 
Среднее число заявок, обслуживаемое в единицу времени
A = pобс*λ = 0.929*0.8 = 0.743 заявок/мин. 
Среднее число занятых каналов Lобс = ρ*Q = 1.76*0.929 = 1.635 ед. 
Время нахождения заявки в системе

Результаты расчетов позволяют сделать вывод, что при достаточно высокой вероятности отказа 7% (примерно каждая четырнадцатая заявка), загруженность АТС составляет около 40% каналов.
3) Зависимость среднего числа занятых каналов и абсолютной пропускной способности АТС от интенсивности входного потока.
Таблица
Зависимость среднего числа занятых каналов и абсолютной пропускной способности АТС от интенсивности входного потока
λ(1/мин) 0,5 1 2 3 7 15 50 200
Q 0,98 0,883 0,652 0,494 0,241 0,117 0,08 0,007
k
1,078 1,943 2,869 3,263 3,71 3,877 3,97 3,99
A(1/мин) 0,489 0,883 1,304 1,483 1,686 1,762 1,79 1,799
Из таблиц и графиков следует, что обе рассматриваемые величины с ростом интенсивности входного потока возрастают, стремясь к некоторым предельным значениям