Средний доход потребителя в городе А 400 руб. в месяц, который он тратит на

Средний доход потребителя в городе А 400 руб. в месяц, который он тратит на 10 бутылок молока и 20 батонов хлеба. Цена молока составляет 20 руб., цена хлеба — 10 руб. Найдите функцию полезности потребления молока и хлеба, если она относится к функциям Кобба-Дугласа. Найдите предельную норму замещения хлеба сметаной. Доход потребителя вырос в 2 раза. Как изменится его потребительский набор? Цена на хлеб выросла в 2 раза. Определите, как изменится оптимальный набор потребителя. Насколько нужно снизить цену молока, чтобы потребитель оказался на том же уровне полезности, если цена хлеба возросла в 2 раза.

1. Обозначим за x – потребление хлеба, y – потребление молока, соответственно цена хлеба – PX и цена молока – PY.
Функция полезности Кобба-Дугласа в общем виде имеет вид U = xαyβ, при этом α + β = 1, т.е. β = 1 – α.
Условие оптимума потребителя MRSX,Y = PX/PY.
MRSX,Y = dU/dxdU/dy=α xα-1yββ xαyβ-1=αβyx=αy1-αx.
Подставив выражение в условие оптимума, получим:
α1-αyx= PXPY=1020=12.
Известно, что в оптимуме семья потребляет 10 бутылок молока и 20 буханок хлеба, т.е. x=20 и y=10, отсюда:
α1-α1020= 12 ,
α = 1 – α, α = 1/2.
Таким образом, функция полезности потребления хлеба и молока имеет вид U = x1/2y1/2.
2

. Подставим α = ½ предельная норма замещения хлеба молоком в точке оптимума будет равна:
MRS =dU/dXdU/dY=12X-12Y1212Y-12X12=YX= 1020=12.
3. Условие равновесия потребителя:
MRSX,Y = Y/X = PX/PY = 10/20 = 1/2 , отсюда Y=0,5X.
Доход потребителя вырос в 2 раза, т.е. составил 2*400 = 800 рублей. Подставим выражение Y=0,5X в новое бюджетное уравнение:
PXX + PYY = M
10*X + 20*0,5X = 800
20X = 800, отсюда
X = 40, Y = 0,5*40 = 20.
4. Теперь цена хлеба составит PХ = 2*10 = 20 рублей