В результате радиоактивного распада препарата висмута 210Bi массой m0 с постоянной распада 1 =

В результате радиоактивного распада препарата висмута 210Bi массой m0 с постоянной распада 1 = 1.610-6 с-1 образуется радиоактивный полоний 210Po. В результате распада полония 210Po с постоянной распада 2 = 5.810-8 с-1 образуется стабильный изотоп свинца 206Pb. Найти зависимость массы m свинца 206Pb от времени t и построить график этой зависимости m(t) в интервале изменения t от 0 до 500 дней. Определить - и -активности препарата через время t. № вар. m0, t 11 m0 = 1 мг, t = 45 дней Дано: m0= 1 мг = 10-3 г 1 = 1.610-6 с-1 2 = 5.810-8 с-1 Bi 210Po 206Pb t1 = 45 сут

Висмут превращается в полоний 84210Po в результате - распада:
83210Bi84210Po+-10e.
Затем полоний превращается в свинец в результате - распада:
84210Po82206Pb+24He.
Таким образом, висмут обладает - активностью, а полоний - активностью.
m(t)– ?
a(t1)– ?
a(t1)– ?
Найдем N0 – начальное количество атомов висмута, для этого число молей умножим на число атомов в одном моле (число Авогадро NA):
N0=m0MBiNA;
где NA=6,021023 моль-1, MBi=210 г/моль – молярная масса висмута.
N0=10-32106,021023=2,871018;
Обозначим N1t – число ядер висмута, N2t – число атомов полония, N3t число атомов свинца в момент времени t.
Тогда для висмута убыль ядер должна быть пропорциональна числу ядер и времени распада:
dN1t=-1N1tdt;
dN1tN1t=-1N1tdt.
Интегрируя это выражение, получим:
N1t=N0e- 1t

. (1)
Для полония имеется одновременно прибыль ядер за счет распада висмута и убыль за счет распада полония и образования свинца. Тогда:
dN2t=1N1tdt-2N2tdt;
dN2tdt=1N1t-2N2t; (2)
Решение уравнения (2) ищем в виде:
N2t=ae- 1t+be- 2t.
Так как в начале полония не было (N20=0), то:
0=ae- 10+be- 20.
a=-b;
N2t=-be- 1t+be- 2t.
Возьмем производную по времени:
dN2tdt=b1e- 1t-b2e- 2t.
Подставим последние два выражения в (2) и учтем (1):
b1e- 1t-b2e- 2t=1N0e- 1t+b2e- 1t-b2e- 2t;
b1e- 1t=1N0e- 1t+b2e- 1t;
b1-2=1N0;
b=11-2N0;
N2t=11-2N0e- 2t-e- 1t; (3)
Так как свинец не распадается, то общее число ядер должно быть неизменным:
N1t+N2t+N3t=N0;
N3t=N0-N1t-N2t;
N3t=N0-N0e- 1t-11-2N0e- 2t-e- 1t;
N3t=N01-1e- 1t-2e- 1t+1e- 2t-1e- 1t1-2;
N3t=N01+2e- 1t-1e- 2t1-2.
Найдем массу свинца, для этого молярную массу свинца умножим на число молей:
mPbt=MPbN3tNA=MPbN0NA1+2e- 1t-1e- 2t1-2.
Для удобства расчетов при построении графиков, выразим постоянные распада в сут-1:
1=1,610-6 с-1=1,610-6 243600 сут-1=0,13824 сут-1;
2=5,810-8 с-1=5,810-8 243600 сут-1=5,011210-3 сут-1;
Определим, что молярная масса висмута MBi=210 г/моль
Подставим числа:
mPbt=2062,8710186,021023
1+5,011210-3 e- 0,13824t-0,13824e- 5,011210-3 t0,13824-5,011210-3 (г).
mPbt=9,8210-41+3,7610-2 e- 0,13824t-1,0376e- 5,011210-3 t (г).
Построим график:
Выразим t1 в секундах:
t1=45 сут=45 243600 с=3,888106 с.
Рассчитаем активность через время t1:
at=1N1t=1N0e- 1t.
at1=1N0e- 1t1=1,610-6 2,871018e- 1,610-6 3,888106=9,12109 (Бк).
Рассчитаем -активность через время t1:
at=2N2t=121-2N0e- 2t-e- 1t.
at1=1,610-6 5,810-8 1,610-6 -5,810-8 2,871018e- 5,810-8 3,888106-e- 1,610-6 3,888106=1,371011 (Бк).
Ответ