Внутри сферы радиусом R, на поверхности которой равномерно распределен заряд q1 с поверхностной плотностью

Внутри сферы радиусом R, на поверхности которой равномерно распределен заряд q1 с поверхностной плотностью σ , находится шар радиусом R/2 , в объеме которого равномерно распределен заряд q2 с объемной плотностью ρ . Требуется: 1) используя теорему Остроградского-Гаусса, найти зависимость напряженности электрического поля от расстояния; 2) построить график зависимости напряженности электрического поля от расстояния; 3) вычислить напряженность электрического поля в точке, удаленной от центра на расстояние r и указать направление вектора напряженности электрического поля. Диэлектрическую проницаемость среды считать равной единице. R = 20 см =0,2 м, σ = 3 нКл/м2= 3∙10-9Кл/м2, q2 = 2 нКл=2 10-9Кл, r = 15 м.

Найдем незаданные величины
q1 = 4 π R2 σ = 4 3,14 0,22 3∙10-9 = 1,51 10-9 Кл.
ρ = q243πR23=2 10-9433,14 0,13= 4,78 10-7 Кл/м3.
Рассмотрим поле внутри заряженного шара. Сферическая поверхность
радиуса r (r < R/2) заключает в себе заряд, равный ρ 4/3 π r3. Поэтому теорема
Остроградского – Гаусса для такой поверхности запишется следующим
образом
Er4πr2=1ε0ρ43πr3.
Отсюда получим
Er=ρ r3ε0=1,80∙104r . (r < R/2)
Таким образом, внутри шара напряженность поля растет линейно с
расстоянием r от центра шара. Вне шара (R/2 < r < R) напряженность
поля убывает по такому же закону, как и у поля точечного заряда:
E(r) = q24πε0r2=18,0r2.
Составим уравнение Остроградского – Гаусса для зарядов, находя-
щихся на сферической поверхности радиуса R и вне ее.
E(r) 4πr2=q1+q2ε0
откуда
Er=q1+q24πε0r2=31,5r2 r ≥ R.
График зависимости напряженности электрического поля от расстояния построен на рис.
Напряженность электрического поля в точке, удаленной от центра на расстояние r, равна
E=q1+q24πε0r2 =1,51∙10-9+2∙10-94 3,14 8,85∙10-12152=0,14 В/м.
Вектор напряженности электрического поля направлен от зарядов.

. (r < R/2)
Таким образом, внутри шара напряженность поля растет линейно с
расстоянием r от центра шара. Вне шара (R/2 < r < R) напряженность
поля убывает по такому же закону, как и у поля точечного заряда:
E(r) = q24πε0r2=18,0r2.
Составим уравнение Остроградского – Гаусса для зарядов, находя-
щихся на сферической поверхности радиуса R и вне ее.
E(r) 4πr2=q1+q2ε0
откуда
Er=q1+q24πε0r2=31,5r2 r ≥ R.
График зависимости напряженности электрического поля от расстояния построен на рис.
Напряженность электрического поля в точке, удаленной от центра на расстояние r, равна
E=q1+q24πε0r2 =1,51∙10-9+2∙10-94 3,14 8,85∙10-12152=0,14 В/м.
Вектор напряженности электрического поля направлен от зарядов.