Точка A находится на ободе колеса радиусом 67 см, которое катится без скольжения по

Точка A находится на ободе колеса радиусом 67 см, которое катится без скольжения по горизонтальной поверхности со скоростью 3 м/с. Найти полный путь, проходимый точкой A между двумя последовательными ее касаниями поверхности. Дано: R=0.67 м vp=3м/с Найти: S=?

Движение точки А складывается из двух движений, поступательного с поступательной скоростью vp и вращательного с угловой скоростью ω=vpR. Пусть ось X направленна горизонтально, а ось Y вертикально . Тогда
vx=vpcosωt+φ0+vp
vy=vpsinωt+φ0
φ0 найдем из начальных условий. При t=0, когда точка А касается поверхности, vx=vy=0. Следовательно,
cosφ0+1=0 и sinφ0=0 ⟹ φ0=π
Следовательно,
vx=vpcosωt+π+vp=vp-vpcosωt
vy=vpsinωt+π=-vpsinωt
Полная скорость
v=vx2+vy2=vp(1-cosωt)2+sin2ωt=
=vp1+cos2ωt-2cosωt+sin2ωt=vp21-cosωt=
=vp4sin2ωt2=2vpsinωt2
Путь, пройденный точкой А за один оборот колеса, T – период оращения колеса:
S=0Tvdt=0T2vpsinωt2dt=4vp0T2sinωt2dt=-8vpωcosωt20T2=
=-8vpωcosωT4-1
T=2πω⟹ωT=2π; vp=ωR
S=-8vpωcosωT4-1=-8vpωcos2π4-1=8vpω=8R
S=0.67∙8=5.36 м
Ответ:
S=5.36 м

. Тогда
vx=vpcosωt+φ0+vp
vy=vpsinωt+φ0
φ0 найдем из начальных условий. При t=0, когда точка А касается поверхности, vx=vy=0. Следовательно,
cosφ0+1=0 и sinφ0=0 ⟹ φ0=π
Следовательно,
vx=vpcosωt+π+vp=vp-vpcosωt
vy=vpsinωt+π=-vpsinωt
Полная скорость
v=vx2+vy2=vp(1-cosωt)2+sin2ωt=
=vp1+cos2ωt-2cosωt+sin2ωt=vp21-cosωt=
=vp4sin2ωt2=2vpsinωt2
Путь, пройденный точкой А за один оборот колеса, T – период оращения колеса:
S=0Tvdt=0T2vpsinωt2dt=4vp0T2sinωt2dt=-8vpωcosωt20T2=
=-8vpωcosωT4-1
T=2πω⟹ωT=2π; vp=ωR
S=-8vpωcosωT4-1=-8vpωcos2π4-1=8vpω=8R
S=0.67∙8=5.36 м
Ответ:
S=5.36 м