Точечный заряд массой , подвешенный в поле силы тяжести на невесомой нерастяжимой нити длиной

Точечный заряд массой , подвешенный в поле силы тяжести на невесомой нерастяжимой нити длиной , вращается в горизонтальной плоскости (Рис. 3) по окружности радиусом . Точка A подвеса нити находится на вертикальном бесконечно длинном стержне, равномерно заряженном с линейной плотностью заряда . Найти частоту n вращения заряда вокруг стержня. Ускорение свободного падения , электрическая постоянная . Рис. 3. Дано:

Разделим нить на малые элементы, столь малые, чтобы заряд, находящийся на каждом таком элементе, был точечным. Рассмотрим один такой элемент длиной dl с зарядом рисунок 4.
Тогда величина вектора напряжённости электрического поля такого элемента заряда, будет:
(1)
Где - диэлектрическая проницаемость среды, принимаем как для вакуума .
Выразим dЕ как функцию переменной угла . Из прямоугольного треугольника находим:
(2)
Выразим как функцию переменной угла :
(3)
Подставляя (3) в (1), получаем:
(4)
Подставляя (2) в (4), имеем:

. (5)
Далее находим проекцию вектора на ось у. (Рис. 4).
(6)
Проинтегрировав уравнение (6), получаем:
. (7)
Учитывая симметрию можно утверждать, что проекция силы на ось х равна нулю.
Тогда напряжённость электрического поля, которое создаётся положительно заряженной бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью , в точке удалённой от нити на расстояние , будет вычисляться по формуле: