Требуется вычислить пределы не пользуясь правилом Лопиталя и не используя эквивалентные бесконечно малые. а)limx→∞6x3+3x4+712x4+x-1; б)limx→52x2-6x-203x2-14x-5;

Требуется вычислить пределы не пользуясь правилом Лопиталя и не используя эквивалентные бесконечно малые. а)limx→∞6x3+3x4+712x4+x-1; б)limx→52x2-6x-203x2-14x-5; в)limx→-0,54x2-13-10+2x; г)limx→01-cos23xxsin5x; д)limx→∞5x-25x+12x-3.

A)limx→∞6x3+3x4+712x4+x-1;
Имеем неопределенность ∞∞ (см. 12).
Для раскрытия неопределённостей вида ∞∞ следует каждое слагаемое числителя и каждое слагаемое знаменателя разделить на xn, где n– старшая степень многочленов, стоящих в числителе и знаменателе. Разделим на x4:
limx→∞6x3+3x4+712x4+x-1=∞∞=limx→∞6x3x4+3x4x4+7x412x4x4+xx4-1x4=
Сократим в числителе и знаменателе:
=limx→∞6x+3+7x412+1x3-1x4= 312=14,
Т.к. limx→∞6x3x4=0; limx→∞7x4=0; limx→∞1x3=0; limx→∞1x4=0 (см. 3.5).
б)limx→52x2-6x-203x2-14x-5.
Числитель и знаменатель данной дроби обращается в нуль при x = 5, т.е. имеем неопределённость вида 00(см. 3.11). Чтобы раскрыть эту неопределённость, необходимо разложить числитель и знаменатель на линейные множители по формуле:
ax2+bx+c=ax-x1x-x2,
(где x1 и x2 – корни квадратного уравнения ax2+bx+c = 0 ) и сократить на бесконечно малый, но отличный от нуля, множитель (x – 5) (x → 5, но x ≠ 5)

. Следовательно,
limx→52x2-6x-203x2-14x-5=00=2x2-6x-20⇒x1=-2, x2=53x2-14x-5=0⇒x1=-13, x2=5 =
=limx→52x+2x-53x+13x-5=limx→52x+23x+13=limx→52x+43x+1=2∙5+43∙5+1=1416=78 .
в)limx→-0,54x2-13-10+2x .
Неопределённость вида 00. Для раскрытия этой неопределённости
нужно сократить числитель и знаменатель на множитель, который даст нуль, т.е. при
x → –0,5 и в числителе и в знаменателе следует выделить множитель (x+0,5). Умножим числитель и знаменатель на выражение 3+10+2x, сопряженное к знаменателю, числитель разложим на линейные множители, воспользовавшись формулой сокращенного умножении: a2-b2=a-ba+b .
limx→-0,54x2-13-10+2x=00=limx→-0,52x-12x+13+10+2x3-10+2x3+10+2x=
=limx→-0,52x-12x+13+10+2x32-10+2x2= limx→-0,52x-12x+13+10+2x9-10-2x=
=limx→-0,52x-12x+13+10+2x-2x-1= limx→-0,52x-12x+13+10+2x-(2x+1)=
=limx→-0,5-2x-13+10+2x=-2∙-0,5-13+10+2∙-0,5=12.
г)limx→01-cos23xxsin5x .
Неопределённость вида 00 и наличие тригонометрических функций
(см