В городе 8 фирм, половина из которых пытается уйти от налогов. Для аудиторской проверки

В городе 8 фирм, половина из которых пытается уйти от налогов. Для аудиторской проверки наугад выбирают 4 фирмы. Какова вероятность, что среди проверяемых фирм пытаются уйти от налогов: только три фирмы; менее трех; не более трех; хотя бы одна.

Общее число n возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно выбрать 4 фирмы для проверки из 8:
n=C84=8!4!8-4!=8!4!4!=4!∙5∙6∙7∙84!4!=5∙6∙7∙81∙2∙3∙4=70
Пусть событие А – среди проверяемых фирм только три пытаются уйти от налогов.
Чтобы событие А произошло, необходимо, чтобы 3 фирмы из 4 проверяемых были выбраны из фирм, которые укрываются от налогов (это можно сделать C43 способами), а 1 из проверяемых фирм (4–3=1) была отобрана из 4 фирм, не уклоняющихся от налогов (это можно сделать C41 способами). Тогда число способов выбора 4 фирм для проверки, благоприятствующих событию А (по правилу произведения в комбинаторике), равно:
mA=C43∙C41=4!3!4-3!∙4!1!4-1!=4!4!3!1!1!3!=3!∙4∙3!∙43!3!=16
Тогда вероятность того, что среди проверяемых фирм только 3 пытаются уйти от налогов, равна (по классическому определению):
pA=mAn=1670=835
Пусть событие B – среди проверяемых фирм менее трех пытаются уйти от налогов.
Чтобы событие В произошло, необходимо, чтобы произошло одно из следующих событий: А1 (среди проверяемых фирм нет фирм, пытающихся уйти от налогов), или А2 (среди проверяемых фирм только 1 пытается уйти от налогов), или А3 (среди проверяемых фирм только 2 пытаются уйти от налогов).
Тогда число способов выбора 4 фирм для проверки, благоприятствующих событию В (по правилу суммы в комбинаторике), равно:
mB=mA1+mA2+mA3
Найдем число mAi способов выбора 4 фирм для проверки, благоприятствующих событиям Ai.
Событие А1: 4 отобранные для проверки фирмы выбраны из 4 фирм, которые не уклоняются от налогов (это можно сделать C44 способами)

. Получим:
mA1=C44=4!4!4-4!=1
Событие А2: 1 фирма из 4 проверяемых была выбрана из фирм, которые уклоняются от налогов (это можно сделать C41 способами), а 3 остальные проверяемые фирмы были выбраны из фирм, которые не уклоняются от налогов (это можно сделать C43 способами). Получим (по правилу произведения в комбинаторике):
mA2=C41∙C43=4!1!4-1!∙4!3!4-3!=4!4!1!3!3!1!=3!∙4∙3!∙43!3!=16
Событие А3:2 фирмы из 4 проверяемых были выбраны из фирм, которые уклоняются от налогов (это можно сделать C42 способами), а 2 остальные проверяемые фирмы были выбраны из фирм, которые не уклоняются от налогов (это можно сделать C42 способами). Получим:
mA3=C42∙C42=4!2!4-2!∙4!2!4-2!=4!4!2!2!2!2!=24∙244∙4=36
Тогда число способов выбора 4 фирм для проверки, благоприятствующих событию В (среди проверяемых фирм менее трех пытаются уйти от налогов), равно:
mB=mA1+mA2+mA3=1+16+36=53
Тогда вероятность того, что среди проверяемых фирм менее 3 пытаются уйти от налогов, равна (по классическому определению):
pB=mBn=5370
Пусть событие С – среди проверяемых фирм не более трех пытаются уйти от налогов.
Чтобы событие С произошло, необходимо, чтобы произошло одно из следующих событий: А1 (среди проверяемых фирм нет фирм, пытающихся уйти от налогов), или А2 (среди проверяемых фирм только 1 пытается уйти от налогов), или А3 (среди проверяемых фирм только 2 пытаются уйти от налогов), или А4 (среди проверяемых фирм только 3 пытаются уйти от налогов).
Число способов выбора 4 фирм для проверки, благоприятствующих событиям А1, А2, А3, А4, найдено в п