В квадрат с вершинами (0,0), (1,0), (0,1), (1,1) наудачу бросается точка М. Пусть (Х,Y)

В квадрат с вершинами (0,0), (1,0), (0,1), (1,1) наудачу бросается точка М. Пусть (Х,Y) – ее координаты. Вероятность попадания в область, лежащую целиком внутри квадрата, зависит лишь от площади этой области и пропорциональна ей. Доказать, что для 0≤x,y≤1 P(X<x; Y<y) = xy и для 0<z<1 найти P(|X-Y|<z), P(XY<z) и P(max{X,Y}<z).

По условию задачи, вероятность попадания точки в область G, лежащую целиком внутри квадрата OABC, равна:
PG=SGSOABC=SG1=SG.
1) X<x;Y<y⇒ область G = прямоугольник OEDH⇒
PX<x;Y<y=SOEDH=xy.
Что и требовалось доказать.
2) X-Y<z⇒-z<Y-X<z⇒X-z<Y<X+z⇒ область G = фигура OKLBMN⇒
PX-Y<z=SOKLBMN=SOABC-2∙SAKL=1-2∙1-z22=1-1-z2=2z-z2=z2-z.
3) XY<z⇒ область G = фигура OAPQC, ограниченная гиперболой PQ (Y=zX) ⇒
PXY<z=SOAPQC=SOABCD-SPBQ=1-z11-zxdx=1-x-zlnxx=1x=z=
=1-1-zln1-z-zlnz=z1-lnz.
4) max{X,Y}<z⇒ область G = квадрат OKQN ⇒
PmaxX,Y<z=SOKQN=z2.
Ответ:
PX<x;Y<y=xy;
PX-Y<z=z2-z;
PXY<z=z1-lnz;
PmaxX,Y<z=z2.