В однородном шаре x2+y2+z2=r2<R2 действуют постоянные источники тепла объемной плотности 6Q. Считая температуру u(r)

В однородном шаре x2+y2+z2=r2<R2 действуют постоянные источники тепла объемной плотности 6Q. Считая температуру u(r) в шаре стационарной, а температуру u(R) поверхности шара постоянной, определить такие значения: 2) u(R) и Q, чтобы uc=T0, ud=T. Здесь 0<c≤R, 0<d≤R, c≠d, T,T0 − заданные постоянные.

Функция u(r) зависит только от одной переменной r, поэтому в сферических координатах имеем следующую задачу Дирихле для уравнения Пуассона
kΔu+6Q=0,
где k − коэффициент теплопроводности.
Δu≡1r2ddrr2dudr=-6Qk, 0≤r<R
(1)
uR=u0=const.
(2)
Решение должно быть ограниченным
u(r)<∞.
(3)
Кроме того по условию задачи известно, что
uc=T0, ud=T.
(4)
Решим уравнение (1).
ddrr2dudr=-6Qr2k, ⟹ r2dudr=-2Qr3k+C1, ⟹ dudr=-2Qrk+C1r2,
ur=-Qr2k-C1r+C2.
Из условия ограниченности (3) следует, что C1=0, т.к