Векторы a11;2;4, a21;-1;1, a32;2;4, x-1;-4;-2 заданы своими координатами в каноническом базисе e1,e2,e3. Требуется: а) показать,

Векторы a11;2;4, a21;-1;1, a32;2;4, x-1;-4;-2 заданы своими координатами в каноническом базисе e1,e2,e3. Требуется: а) показать, что система образует базис в пространстве R3; б) записать матрицу перехода от канонического базиса e1,e2,e3 к базису a1,a2,a3 и разложить вектор x по этому базису.

А) Система векторов линейного пространства образует базис в R3, если эта система векторов упорядочена, линейно независима и любой вектор линейно выражается через векторы системы.
Составим матрицу из векторов a1,a2,a3:
1241-11224
Вычислим определитель основной матрицы:
∆=1241-11224=1∙-1∙4+1∙2∙4+2∙2∙1-
-2∙-1∙4+1∙2∙4+2∙1∙1=-4+8+4--8+8+2=8-2=6
Так как определитель матрицы не равен нулю, то векторы a1,a2,a3 линейно независимы и образуют базис в трехмерном пространстве R3.
б) Запишем матрицу перехода от канонического базиса e1,e2,e3 к базису a1,a2,a3.
100010001 1241-11224→100-110-201 1240-3-30-2-4→1-20-110-22-3 -30-60-3-3006→
→-606-2-4342-3 600060006→-101-0,33-0,670,50,670,33-0,5 100010001
Матрица перехода имеет вид: -101-0,33-0,670,50,670,33-0,5.
Разложим вектор x по полученному базису